Yet, in fact, as I shall show here with very good reasons, the properties of the numbers known today have been mostly discovered by observation, and discovered long before their truth has been confirmed by rigid demonstrations.
——Leonhard Paul Euler
事实上，正如我以非常充分的理由在此将要指出的那样，今天人们所知道的数的性质，几乎都是由观察所发现的，并且早在用严格论证确认其真实性之前就被发现了。
[图片，科普，数学] 素数（42）：黎曼ζ函数零点与素数计数函数π(x)的 Wolfram 仿真之一 （关联：端点效应）
黎曼ζ函数： Riemann zeta function, Riemann ζ function
平凡零点： trivial zero
非平凡零点： nontrivial zero
临界带： critical strip
素数： prime number
算术基本定理： fundamental theorem of arithmetic
素数计数函数： prime counting function, π(x)
素数定理： prime number theorem
对数积分： logarithmic integral
唯一分解定理： unique factorization theorem
黎曼假设： Riemann Hypothesis
希尔伯特的第 8问题： Hilbert's 8th Problem
网上有不少对黎曼ζ函数（Riemann zeta function, Riemann ζ function）零点（zeros）数值计算的结果。陆续搜集汇总如下。
下面是 Wolfram 里的一些数值计算结果：
它们是我在网上找到的一个程序制作的图片。感谢原作者和有关人员！
我不太懂是什么意思。
应该是用“ζ函数的零点 Zeros of the Zeta Function”来拟合“π(x) 素数分布 Distribution of Primes”。
图1 0对 Zeros of the Zeta Function
图2 5对 Zeros of the Zeta Function
图3 10对 Zeros of the Zeta Function
图4 15对 Zeros of the Zeta Function
图5 20对 Zeros of the Zeta Function
图6 25对 Zeros of the Zeta Function
图7 30对 Zeros of the Zeta Function
图8 35对 Zeros of the Zeta Function
图9 40对 Zeros of the Zeta Function
图10 50对 Zeros of the Zeta Function
图11 60对 Zeros of the Zeta Function
图12 70对 Zeros of the Zeta Function
图13 80对 Zeros of the Zeta Function
图14 90对 Zeros of the Zeta Function
图15 100对 Zeros of the Zeta Function
图16 100对 Zeros of the Zeta Function，上图的局部细节1
图17 100对 Zeros of the Zeta Function，上图的局部细节2
图18 100对 Zeros of the Zeta Function，上图的局部细节3
参考资料：
[1] 葛力明，薛博卿. 黎曼ζ-函数的零点都有1/2+it的形式吗?[J]. 科学通报, 2018, 63(2): 141-147.
doi: 10.1360/N972017-00022
https://www.sciengine.com/CSB/doi/10.1360/N972017-00022
以前的《科学网》相关博文链接：
[1] 2026-04-21 16:59，[图片，科普，数学] 素数（41）：黎曼ζ函数 Riemann zeta function 的零点之三
https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1531430.html
[2] 2026-04-20 21:26，[图片，科普，数学] 素数（40）：黎曼假设 Riemann Hypothesis 与 end effects 端点效应之二
https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1531246.html
[3] 2026-04-17 21:28，[笔记，科普，数学] 素数（37）：“黎曼假设/猜想”与素数计数函数 prime counting function
https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1530901.html
[4] 2026-04-16 22:08，[打听，科普，数学] 素数（36）：有穷项的计算，会得到精确的素数计数函数的数值吧？
https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1530752.html
[5] 2026-04-15 20:57，[随感，科普，数学] 素数（35）：不同素数计数函数方法的准确性（关联：端点效应 end effects，置信区间，等）
https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1530553.html
[6] 2026-04-11 16:49，[观察，科普，数学] 素数（31）：黎曼 Riemann 素数计数函数“端点效应 end effects”的两个特点
—— 黎曼假设 Riemann Hypothesis、黎曼素数计数函数 Riemann Prime Counting Function，在进行数值计算时，也会遇到“端点效应 end effects”吗？这是“周期性分解”的共同问题吗？
https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529947.html
[7] 2026-04-10 16:28，[打听，科普，数学] 素数（30）：黎曼假设 Riemann Hypothesis 与 end effects 端点效应
—— 黎曼假设 Riemann Hypothesis、黎曼素数计数函数 Riemann Prime Counting Function，在进行数值计算时，也会遇到“端点效应 end effects”吗？这是“周期性分解”的共同问题吗？
https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529817.html
[8] 2026-04-09 21:23，[图片，科普，数学] 素数（29）：素数计数函数 prime counting function <1,000,000
https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529693.html
[9] 2026-04-08 22:29，[笔记，科普，数学] 素数（28）：素数计数函数 prime counting function <1027 （全网址）
https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529524.html
[10] 2026-04-07 22:28，[打听，科普，数学] 素数（27）：素数计数函数，除了切比雪夫 Чебышёв，还有哪些可信的定理？
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[11] 2026-03-10 20:54，[打听，科普，数学] 素数（6）：不用黎曼猜想的“素数计数函数”2个估计
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[12] 2026-04-19 20:34，[图片，科普，数学] 素数（39）：黎曼ζ函数 Riemann zeta function 的零点之二
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[13] 2026-04-18 21:05，[图片，科普，数学] 素数（38）：黎曼ζ函数 Riemann zeta function 的零点之一
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[14] 2026-03-27 21:04，[笔记，科普，数学] 素数（19）：俄语资料的阅读摘录
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[15] 2026-03-06 01:24，[资源，科普，数学] 素数表（质数表，小于 200000） list of primes, prime numbers
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[16] 2026-03-04 15:36，[笔记，科普，数学] 素数（1）：算术基本定理 fundamental theorem of arithmetic
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