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[打听，科普，数学] 素数（25）：对黎曼假设 Riemann Hypothesis 可能不利的证据，都有哪些？

已有 155 次阅读 2026-4-5 19:32 |个人分类:资料与科普|系统分类:科研笔记

[打听，科普，数学] 素数（25）：对黎曼假设 Riemann Hypothesis 可能不利的证据，都有哪些？

素数分布： distribution of primes

显式公式： explicit formula

素数： prime number

算术基本定理： fundamental theorem of arithmetic

素数计数函数： prime counting function

素数定理： prime number theorem

对数积分： logarithmic integral

唯一分解定理： unique factorization theorem

黎曼假设： Riemann Hypothesis

希尔伯特的第 8问题： Hilbert's 8th Problem

一、为什么是“黎曼假设”，而不是“黎曼猜测”？

https://www.sciengine.com/CSB/doi/10.1360/N972017-00022

当今, 在计算机的帮助下, 人们已然验证了离实轴最近的至少10²²个非显然零点, 它们确实位于对称轴ℜ(s) = 1/2 上^[14]. 今天, 人们对黎曼假设的正确性几乎没有怀疑, 甚至不自觉地在假设它成立的前提下开展研究, 数以千计的数学定理是在黎曼假设成立的前提下获得证明, 这也是“黎曼假设”比“黎曼猜测”出现得更高频的原因.

[14] Odlyzko A D. The 1022-nd zero of the Riemann zeta function. Comtemp Math, 2001, (290): 139–144

葛力明、薛博卿，2018，第 144 页局部截图：

二、黎曼假设 Riemann Hypothesis 可能不利的证据，都有哪些？

2.1 克莱姆 Harald Cramér 1936 的证明

https://www.bilibili.com/read/cv15653584/?opus_fallback=1

另一个猜想是大素数间隙猜想。哈拉尔德·克拉梅尔证明了：假设黎曼猜想成立，素数 p 与其后继者之间的间隙将会为

。平均来说，该间隙的阶仅为O(ln(p))，而根据数值计算结果，它的增长率并不似黎曼猜想所预测的那么大。

2.2 Ingham, A. E., The distribution of prime numbers, Cambridge Mathematical Library Cambridge University Press, Cambridge, 1990.

Considerable importance was attached formerly to a function suggested by Riemann as an approximation to π(x)... This function represents π(x) with astonishing accuracy for all values of x for which π(x) has been calculated, but we now see that its superiority over Li(x) is illusory... and for special values of x (as large as we please) the one approximation will deviate as widely as the other from the true value.

... And we can see in the same way that the function Li(x)-(1/2)Li(x1/2) is 'on the average' a better approximation than Li(x) to π(x); but no importance can be attached to the latter terms in Riemann's formula even by repeated averaging.

【机器翻译】以前，黎曼提出的函数作为 π(x)的近似值受到了相当大的重视…对于所有计算出 π(x)的x值，这个函数都以惊人的精度表示 π(x)，但我们现在看到它比 Li(x)的优越性是虚幻的。..对于 x的特殊值（尽可能大），一个近似值将与另一个近似值同范围地偏离真实值。

…我们可以以同样的方式看到，函数Li(x) - (1/2)Li(x^1/2) 在“平均”上比 Li(x)更接近 π(x)）；但即使通过重复平均，也不能重视黎曼公式中的后一项。

请教：

这里的 A. E. Ingham ，是不是 Albert Edward Ingham ？

参考资料：

[1] 葛力明，薛博卿. 黎曼ζ-函数的零点都有1/2+it的形式吗?[J]. 科学通报, 2018, 63(2): 141-147.

doi: 10.1360/N972017-00022

https://www.sciengine.com/CSB/doi/10.1360/N972017-00022

[2] bilibili，2022-03-14 14:11，黎曼猜想

https://www.bilibili.com/read/cv15653584/?opus_fallback=1

[3] 科普中国，2021-12-31，素数分布

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=315801

素数在自然数中占有极其重要的地位，但是它的变化非常不规则。人们至今没有找到，大概也不可能找到一个可以表示全体素数的有用公式。最初的研究方法，是通过观察素数表来发现素数分布的性质。现有的较完善的素数表是D.B.扎盖尔于1977年编制的，列出了不大于50000000的所有素数。从素数表可以看出：在1到100中间有25个素数,在1到1000中间有168个素数,在1000到2000中间有135个素数, 在2000到3000中间有127个素数，在3000到4000中间有120个素数,在4000到5000中间有119个素数,在5000到10000中间有560个素数。由此可看出，素数的分布越往上越稀少。

以前的《科学网》相关博文链接：

[1] 2026-03-12 22:07，[打听，科普，数学] 素数（8）：素数间隙 prime gap 与 Cramer's Conjecture (Cramér's Conjecture)

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1525561.html

[2] 2026-03-10 20:54，[打听，科普，数学] 素数（6）：不用黎曼猜想的“素数计数函数”2个估计

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1525254.html

[3] 2026-03-09 22:12，[笔记，科普，数学] 素数（5）：黎曼猜想 Riemann Hypothesis

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1525092.html

[4] 2026-04-04 21:18，[打听，科普，数学] 素数（24）：素数分布频率与泊松 Poisson 分布、正态分布 normal 的对照

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1528912.html

[5] 2026-04-03 20:40，[笔记，科普，数学] 素数（23）：一些尚未解决的问题

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1528823.html

[6] 2026-04-02 21:50，[笔记，科普，数学] 素数（22）：布尔巴基 Bourbaki 几乎不研究素数？