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[资料，科普] 《数学百科全书》词条“证明”，以及数学“证明”的传奇：当证明长度增加时，错误的概率也增加了

一、《数学百科全书 Математическая энциклопедия》的词条“Доказательство 证明”：

   Рассуждение по определенным правилам, обосновывающее какое-либо предложение (утверждение, теорему); основанием Д. служат исходные утверждения (аксиомы). Конкретное Д. не обязательно начинается с аксиом, оно может опираться на ранее доказанные предложения. Всякое Д.- относительно, поскольку базируется на нек-рых недоказываемых положениях. Правила, по к-рым ведутся рассуждения, а также методы Д. изучает логика. См. Доказательств теория. А. С. Ку зичев

【机器翻译：俄语→汉语】根据某些规则推理，证明某个命题（命题、定理）；理由D这是原始陈述（公理）。具体D它不一定从公理开始，它可以依赖于先前证明的命题。所有D-相对而言，因为它基于一些无法证明的条款。 

【Encyclopedia of Mathematics 里的英文翻译】

   A reasoning conducted according to certain rules in order to demonstrate some proposition (statement, theorem); it is based on initial statements (axioms). In practice, however, it may also be based on previously demonstrated propositions. Any proof is relative, since it is based on certain unprovable assumptions. Rules of conducting a reasoning and methods of proof form a main topic in logic.

【机器翻译：英语→汉语】根据某些规则进行的推理，以证明某个命题（陈述、定理）；它基于初始陈述（公理）。然而，在实践中，它也可能基于之前证明的命题。任何证明都是相对的，因为它是基于某些无法证明的假设。推理规则和证明方法是逻辑学的一个主要课题。

二、复习：张景中，彭翕成著. 数学哲学[M]. 2017，第 180、181页

   当代的数学有些已经很复杂。有些数学定理的证明超过百页，这使得审稿成为异常艰辛的工作。

   以代数中著名的有限单群分类定理为例。确切来说，这不是一个定理而是组定理。它的证明由500篇论文组成，总页数超过1万页。世界上恐怕没有人认真地把这个证明从头到尾读过，更别说验证其正确性了。这样冗长的证明使不少数学家怀疑其中会有错误。对此，在该定理的最后证明中起重要作用的阿施巴赫尔评论道:“一方面，当证明长度增加时，错误的概率也增加了。在分类定理中出现错误的概率实际上是1。但是另一方面，任何单个错误不能被容易地改正的概率是0。随着时间的推移，我们将会有机会推敲证明，对它的信任度必定会增加。”

   前苏联数学家彼得洛夫斯基院士，在常微分方程定性理论方面有一个著名的结果。而这个结果在多年后被中国的一位研究生用反例推翻了。

   前苏联另一位专家关于钢管校直机械有一个著名公式，这个公式被写入了教科书，还获得过国家大奖。中国的一位技术员在实践中发现，按此公式设计的前苏联设备废品率偏高，于是向一位数学教师请教，最后发现了这个公式推导中有错，于是他改进了机器的设计，因而获得好的效果。这位技术员因此获得国家发明一等奖。

图1  张景中，彭翕成著. 数学哲学[M]. 2017，第 180 页局部

图2  张景中，彭翕成著. 数学哲学[M]. 2017，第 181 页局部，紧接上图

 参考资料：

[1] Математическая энциклопедия, Доказательство

https://gufo.me/dict/mathematics_encyclopedia/%D0%94%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE

[2] 张景中，彭翕成著. 数学哲学[M]. 2017

https://baike.baidu.com/item/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%93%B2%E5%AD%A6%EF%BC%88%E7%AC%AC3%E7%89%88%EF%BC%89/56489351  

[3] Vladimir I Arnol'd ((Arnold). On teaching mathematics [J]. Russian Mathematical Surveys, 1998, 53(1): 229-234.  Number 1, February 1998

doi:  10.1070/RM1998v053n01ABEH000005

https://iopscience.iop.org/article/10.1070/RM1998v053n01ABEH000005

附图  截取自 Arnold, 1998, On teaching mathematics 第232页

以前的《科学网》相关博文链接：

[1] 2024-07-17 22:41，[实验，理论，数学文化] 物理学试验与数学证明：庞加莱看正态分布

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1442702.html

[2] 2023-06-28 16:36，[补充扼要说明] “P对NP, P vs NP”问题的“1+3”种证明与无穷

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1393320.html

[3] 2023-03-01 17:30，[打听] 四色定理计算机“证明”的“诗、电话簿”原文

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1378486.html

[4] 2023-01-18 15:40，[立此存照] 假如有人宣称证明了“P≠NP”，似乎只能证明他们不懂“什么是数学证明”

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1372500.html

[5] 2023-01-12 15:16，[阅读笔记] “证明了一个数学大问题”之后的 8 类走向（结果）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1371682.html

[6] 2022-10-19 20:10，[想不明白] 几十页、上百页长的数学证明，真的可靠吗？（阿诺德、Chaitin）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1360078.html

[7] 2021-07-14 15:59，“归一化引起数据挖掘额外误差”（牛顿猜想）的一个糟糕的确定型证明尝试

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1295438.html

[8] 2009-03-22 20:54，什么是“证明” The definition of Proof

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-221874.html

[9] 2023-04-06 18:22，[打听] 希尔伯特第十六问题：院士与研究生

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1383219.html  

[10] 2024-10-22 22:21，[打听，笔记] 推导符号公式的局限性：从数学、心理学到哲学

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1456506.html

[11] 2022-10-14 18:32，[小资料] 阿诺德原理、复杂的模型几乎毫无用处：出自 1998年《On teaching mathematics》

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1359459.html

 第232页

   In exactly the same way a small change in axioms (of which we cannot be completely sure) is capable, generally speaking, of leading to completely different conclusions than those that are obtained from theorems which have been deduced from the accepted axioms. The longer and fancier is the chain of deductions ("proofs"), the less reliable is the final result.

   Complex models are rarely useful (unless for those writing their dissertations).

   与此完全一样的是，公理（那些我们不能完全确定的）的一个小小的改变虽是容许的，一般来说，由那些被接受的公理推出的定理却将导出完全不同的结论。推导的链（即所谓的“证明”）越长越复杂，最后得到的结论可靠性越低。

   复杂的模型几乎毫无用处（除了对那些无聊的专写论文的人）。

感谢您的指教！

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