[数学文化，笔记] 素数有无穷多个之九类证明

素数： prime number

素数测试： primality test

黎曼假设： Riemann Hypothesis

图1  欧几里得 Euclid, Eukleides, c. 300 BCE, Alexandria, Egypt.

About 325~265 BC, 60

https://cdn.britannica.com/46/8446-050-BC92B998/Euclid-woodcut-1584.jpg

https://www.britannica.com/biography/Euclid-Greek-mathematician

图2  欧几里得和《几何原本》 Euclid's Elements of Geometry

https://res.cloudinary.com/jerrick/image/upload/q_auto,w_720/5f605302c30457001c6e1cc8.jpg

一、[笔记] 素数有无穷多个之九类证明

   说明：✔、×，是我阅读时添加的标识，表示“已经得证”、“尚未完成”。

   ？表示没用看懂“是否已经完成证明”。我不知道这些标识是否正确。

感谢您的指教！

1. 欧几里得 ✔

   “素数比任何指定个数的素数更多”。

   证明的本质——即证明已知素数的连乘积加 1 是新素数或以新素数为因子。

2. 利用互素序列 ×

   假如能找到一个无穷序列，其中任意两项都是互素的（ 即所谓互素序列），那就等于证明了素数有无穷多个——因为每一项的素因子都彼此不同，项数无穷，素因子的个数——从而素数的个数——自然也就无穷。

   请教：该思路到目前为止，还没有真正完成证明？

3. 利用素数分布 ×

   由于素数有无穷多个是欧几里得时代就已证明了的结论，

   对任意正整数n ≥ 2，在n 与 n! + 1之间（ 含 n! +1 本身）至少存在一个素数。

   请教：该思路到目前为止，还没有真正完成证明？

4. 利用代数数论 ？

   数论乃是一个分支，本身又包含若干分支，代数数论和解析数论便是其中两个。

   利用代数数论的证明还有代数味更浓的，直接用到戴德金整环、素理想之类如假包换的代数数论概念，

5. 利用解析数论 ？

6. 组合证明 ✔

7. 拓扑证明 ？

   事情发生在 1955 年。那年 5 月，《美国数学月刊》刊登了一篇题为《论素数的无穷性》（On the Infinitude of Primes） 的论文，作者是美国耶什华大学（Yeshiva University）的德裔本科生弗斯滕伯格（Hillel Furstenberg）。

8. 信息证明 ✔

   所有素数 p_i 都不小于 2，因此所有指数 m_i 都不大于 log(N)，m_i 的编码长度则约为 loglog(N)。这表明，将 N 表示为指数序列 {m₁, ..., m_n} 的总编码长度约为 n•loglog(N)。由于n 是固定的， 对足够大——也就是位数足够长——的正整数N，显然会有 nn•loglog(N) ≪ log(N)。也就是说，对足够大的正整数，这是一种纯压缩同时又不损失信息的编码。

   可惜信息理论有一条基本定理，那就是纯压缩又不损失信息的编码是不存在的，或者换句话说任何不损失信息的编码如果对某些数据是压缩，就必然会对另外某些数据是“膨胀”。

9. 其他证明 ✔

   都是 2017 发表的，并且都是纽约州立大学普拉茨堡分校（SUNY-Plattsburgh）的数学教授诺斯谢尔德（Sam Northshield）给出的。

   第一个证明发表于《大学数学杂志》（The College Mathematics Journal），标题为《素数无穷性的两个简短证明》（Two Short Proofs of the Infinitude of Primes）。

   第二个证明发表于《美国数学月刊》（The American Mathematical Monthly），标题为《素数无穷性的单行证明》（A One-Line Proof of the Infinitude of Primes）。

   在完成第一个证明后为何还要继续寻找新的证明？阿蒂亚回答说，“任何好的定理都该有若干个证明，越多越好”，因为“不同的证明有不同的优点和缺点，它们是往不同方向的推广，而不只是彼此重复”，“它们都是对领域的揭示”，“如果你无法从不同视角看待一个问题，问题也许会显得无趣，视角越多越好！”

二、[打听] 素数有无穷多个的证明：真的成立吗？

   我真看不懂。

   伤心的历史：

   2023-08-23，四色定理/four color theorem/魏美芹，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=115136&Type=bkzyb&SubID=61825

   1879年，A.B.肯普（Alfred Bray Kempe，1849-07-06～1922-04-21）发表了四色猜想的“证明”，但在11年后被英国数学家P.J.希伍德（Percy John Heawood，1861-09-08～1955-01-24）指出错误。

   在1880年，苏格兰数学物理学家P.G.泰特（Peter Guthrie Tait，1831-04-28～1901-07-04）也发表了对四色猜想的“证明”，但也在1891年被丹麦数学家J.彼得森（Julius Petersen，1839-06-16～1910-08-05）发现漏洞。

   伤心地担心：

   “素数有无穷多个”，不会重蹈“四色定理”证明的覆辙吧？

推荐阅读：

[1] The Millennium Prize Problems, Clay Mathematics Institute

https://www.claymath.org/millennium-problems/

[2-2] Arthur Jaffe, 薛博卿译. 千禧年大奖难题之始与未终[J]. 数学文化, 2020, 11(4): 65-74.

https://www.global-sci.org/intro/article_detail/mc/18380.html

https://www.global-sci.org/intro/articles_list/mc/2043.html

[2] The Abel Prize, The Norwegian Academy of Science and Letters

https://abelprize.no/

https://abelprize.no/page/about-abel-prize

   The Abel Prize – International Prize of Mathematics – Awarded yearly

   The Abel Prize is named after Niels Henrik Abel, Norway’s greatest mathematician throughout the times. Abel left lasting marks on the mathematical world. His mathematics have served as a base for a number of major technological breakthroughs, there amongst the development of the internet.  The Abel Prize was established by the Norwegian Parliament (The Storting) in 2002, on the occasion the 200-year anniversary of his birth.

   阿贝尔奖-国际数学奖-每年颁发

   阿贝尔奖以挪威历史上最伟大的数学家尼尔斯·亨里克·阿贝尔的名字命名。阿贝尔在数学界留下了不可磨灭的印记。他的数学为互联网的发展提供了许多重大技术突破的基础。阿贝尔奖由挪威议会（挪威议会）于2002年在他诞辰200周年之际设立。

[3] The Nobel Prize, The Nobel Foundation

https://www.nobelprize.org/prizes/

[4] A.M. Turing Award, Association for Computing Machinery

https://amturing.acm.org/

   The A.M. Turing Award, sometimes referred to as the "Nobel Prize of Computing," was named in honor of Alan Mathison Turing (1912–1954), a British mathematician and computer scientist. He made fundamental advances in computer architecture, algorithms, formalization of computing, and artificial intelligence. Turing was also instrumental in British code-breaking work during World War II.

   A.M.图灵奖，有时被称为“诺贝尔计算奖”，是为了纪念英国数学家和计算机科学家Alan Mathison Turing（1912-1954）而设立的。他在计算机体系结构、算法、计算形式化和人工智能方面取得了根本性进展。图灵在第二次世界大战期间也在英国的密码破译工作中发挥了重要作用。

[5] SCIENCE, 2005-01-07, Special Issue 125th Anniversary, 01 JULY 2005, VOL 309, ISSUE 5731

https://science.sciencemag.org/content/309/5731

[5-2] In Praise of Hard Questions

https://www.science.org/doi/10.1126/science.309.5731.76

https://www.science.org/toc/science/309/5731

[5-3] 125

https://www.science.org/doi/10.1126/science.1115951

   Although tempted to review the 25 years of progress since 1980, my colleagues and I went with Fred instead and decided to contemplate the future, this time by posing 25 “Big Questions” along with 100 smaller ones. The choice reflects our belief that questions are more important than answers in shaping the future of science.

   尽管我很想回顾自1980年以来的25年进展，但我和我的同事们还是和弗雷德一起决定思考未来，这次提出了25个“大问题”和100个小问题。这一选择反映了我们的信念，即在塑造科学的未来方面，问题比答案更重要。

[5-4] 2019-05-17，《Science 125个前沿问题解读》一书即将出版 |《科学通报》

https://blog.sciencenet.cn/blog-528739-1179598.html

[5-5] 2017-01-22，Science125个科学前沿问题系列解读2016年度汇总|《科学通报》

https://blog.sciencenet.cn/blog-528739-1029192.html

[5-6] 2016-03-18，Science 125个科学前沿问题系列解读 |《科学通报》

https://blog.sciencenet.cn/blog-528739-963412.html

[6] 等你求解！上海交大携手《科学》杂志向全球发布125个科学问题, 2021-04-11, 上海交通大学 

https://news.sjtu.edu.cn/mtjj/20210412/145693.html

[5-2] SCIENCE, 2021-04-11, 125 questions: Exploration and discovery, In honor of Shanghai Jiao Tong University’s 125th Anniversary

https://www.sciencemag.org/collections/125-questions-exploration-and-discovery

参考资料：

[1] 卢昌海. 素数有无穷多个之九类证明[J]. 数学文化，2018, 9(4): 73-84.

https://www.global-sci.org/intro/article_detail/mc/12858.html

https://www.global-sci.org/intro/articles_list/mc/1488.html

[2] 2020: Hillel Furstenberg, THE ABEL PRIZE

https://abelprize.no/abel-prize-laureates/2020

   “for pioneering the use of methods from probability and dynamics in group theory, number theory and combinatorics.”

https://abelprize.no/winners

https://abelprize.no/

[3] Hillel (Harry) Furstenberg - Wolf Foundation

https://wolffund.org.il/harry-furstenberg/

图3  弗斯滕伯格 Hillel (Harry) Furstenberg, 1935-09-29 ~

[4] 2023-06-30，素数测试/primality test/孙晓明，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=46856&Type=bkzyb&SubID=81673

[5] 科普中国，2021-12-31，素数定理 

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=289518

[6] 科普中国，2021-12-31，AKS素数测试 

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=212410

[7] Prime number. Encyclopedia of Mathematics.

https://encyclopediaofmath.org/wiki/Prime_number

[8] Weisstein, Eric W. "Prime Number." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.

https://mathworld.wolfram.com/PrimeNumber.html

[9] Prime numbers, MacTutor History of Mathematics

https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Prime_numbers/

[10] The complete list of primes. - University of Chicago

https://www.math.uchicago.edu/~luis/allprimes.html

[11] Prime Number Lists

https://www.mathsisfun.com/numbers/prime-number-lists.html

[12] Riemann Hypothesis, Clay Mathematics Institute

https://www.claymath.org/millennium/riemann-hypothesis/

[13] 陆俊. 素数的那些事儿[J]. 数学文化，2012, 3(1): 29-37.

https://www.global-sci.org/intro/article_detail.html?journal=undefined&article_id=11527

https://www.global-sci.org/intro/articles_list/mc/1407.html

相关链接：

[1] 2024-11-02，[笔记，科普，资料] 素数 prime number 入门

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1458252.html

[2] 2022-10-18，黎曼猜想，可能是这些诸多素数分布渐近公式里精度较好的一个

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1359912.html

[3] 2018-11-04，《[猜想] 素数分布，应该是个简单问题》的补充说明

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1144462.html

[4] 2018-11-03，[猜想] 素数分布，应该是个简单问题

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1144328.html

[5] 2024-11-01，[数学文化，笔记] 正态分布的多种稳定性质（关联不能被预报预测）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1458130.html

[6] 2024-07-17，[实验，理论，数学文化] 物理学试验与数学证明：庞加莱看正态分布

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[7] 2024-07-06，[打听，数学文化，科普] 世界“三大数学猜想”的权威主流出处

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1441203.html

[8] 2024-04-13，[数学文化，P vs NP] 正态分布的四种推导

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