分形树及凯莱树的归一化拉普拉斯谱：解析结果与应用

居来提•阿拉法特　吴斌  章忠志

摘要：网络归一化拉普拉斯矩阵的特征值对于理解网络的结构与动力学性质起着重要的作用。本文研究了一类树型分形网络及凯莱树(Cayley tree)的归一化拉普拉斯矩阵的谱及其应用。这两类网络都是以迭代的方式生成的，其中凯莱树可用于描述树形聚合物。对于所研究的分形树，通过重正化群的方法，确定了其特征值及每一特征值的重数；发现连续两代网络的特征值服从一递推关系，通过这一递推式及初始网络的特征值可以得到任一代网络的特征值。对于凯莱树，证明了其所有特征值都可以通过递归求解几个低次多项式的根来得到。然后，利用归一化拉普拉斯矩阵的谱与随机游走特征时间(Eigentime identity) 的关系，导出了这两类树型网络上随机游走特征时间的精确解，结果表明，这两类网络的特征时间展现出完全不同的行为。此外，通过归一化拉普拉斯矩阵的特征值和网络生成树个数之间的精确关系，验证了所得两个网络特征值及其重数的正确性。

相关结果已经被《The Journal of Chemical Physics (JCP)》正式录用，拟于近期发表。JCP为一直为中科院SCI分区列表二区中的Top期刊，近五年的平均影响因子为3.238，2011年影响因子为3.333。JCP上发表的文章必须是“Vital experimental and theoretical research at the interface between physics and chemistry.”

文章正式发表的PDF版本：

Eigenvalues of normalized Laplacian matrices of fractal trees and dendrimers Ana.pdf

论文第一作者居来提•阿拉法特是课题组一名大三本科生，他也是课题组唯一的少数民族学生。恭喜阿拉法特同学！

这是阿拉法特同学本科期间的第三篇学术论文，此前，他曾以第二作者身份发表过两篇文章。其三篇论文的相关信息如下：

[1] Julaiti Alafate, Wu Bin, Zhang Zhongzhi. Eigenvalues of normalized Laplacian matrices of fractal trees and dendrimers: Analytical results and applications. The Journal of Chemical Physics, 2013, 138:******.（in press）

[2]Lin Yuan, Julaiti Alafate, and Zhang Zhongzhi. Mean first-passage time for random walks in general graphs with a deep trap. The Journal of Chemical Physics, 2012, 137:124104.

[3]Zhang Zhongzhi, Julaiti Alafate, Hou Baoyu, Zhang Hongjuan, and Chen Guanrong. Mean first-passage time for random walks on undirected networks. European Physical Journal B, 2011, 84:691-697.