沈律
现代数学概述
2017-7-11 10:16
阅读:5389

现代数学概述

沈   律

(皖南医学院,芜湖,241002)


第一章 现代数学概述

数学(mathematics或maths)是研究数量结构变化空间以及信息概念的一门学科,从某种角度看属于形式科学的一种。而在人类历史发展和社会生活中,数学也发挥着不可替代的作用,也是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。它是研究空间形式和数量关系的科学

数学分支


1:数学史

2:数理逻辑与数学基础

a:演绎逻辑学(亦称符号逻辑学)b:证明 (亦称元数学) c:递归论 d:模型论 e:公理集合论 f:数学基础 g:数理逻辑与数学基础其他学科


3:数论
a:初等数论 b:解析数论 c:代数数论 d:超越数论 e:丢番图逼近 f:数的几何 g:概率数论 h:计算数论 i:数论其他学科


4:代数学
a:线性代数 b:群论 c:域论d:李群 e:李代数 f:Kac-Moody代数 g:环论 (包括交换环与交换代数,结合环与结合代数,非结合环与非结合代数等) h:模论 i:格论 j:泛代数理论 k:范畴论 l:同调代数 m:代数K理论 n:微分代数 o:代数编码理论 p:代数学其他学科


5:代数几何学
6:几何学
a:几何学基础 b:欧氏几何学 c:非欧几何学 (包括黎曼几何学等) d:球面几何学 e:向量和张量分析 f:仿射几何学 g:射影几何学 h:微分几何学 i:分数维几何 j:计算几何学 k:几何学其他学科

7:拓扑学

a:点集拓扑学 b:代数拓扑学 c:同伦论 d:低维拓扑学 e:同调论 f:维数论 g:格上拓扑学 h:纤维丛论 i:几何拓扑学 j:奇点理论 k:微分拓扑学 l:拓扑学其他学科
8:数学分析

a:微分学 b:积分学 c:级数论 d:数学分析其他学科
9:非标准分析
10:函数论
a:实变函数论 b:单复变函数论 c:多复变函数论 d:函数逼近论 e:调和分析 f:复流形 g:特殊函数论 h:函数论其他学科
11:常微分方程
a:定性理论 b:稳定性理论 c:解析理论 d:常微分方程其他学科
12:偏微分方程
a:椭圆型偏微分方程 b:双曲型偏微分方程 c:抛物型偏微分方程 d:非线性偏微分方程 e:偏微分方程其他学科
13:动力系统
a:微分动力系统 b:拓扑动力系统 c:复动力系统 d:动力系统其他学科
14:积分方程
15:泛函分析
a:线性算子理论 b:变分法 c:拓扑线性空间 d:希尔伯特空间 e:函数空间 f:巴拿赫空间 g:算子代数 h:测度与积分 i:广义函数论 j:非线性泛函分析 k:泛函分析其他学科
16:计算数学
a:插值法逼近论 b:常微分方程数值解 c:偏微分方程数值解 d:积分方程数值解 e:数值代数 f:连续问题离散化方法 g:随机数值实验 h:误差分析 i:计算数学其他学科
17:概率论
a:几何概率 b:概率分布 c:极限理论 d:随机过程 (包括正态过程与平稳过程、点过程等) e:马尔可夫过程 f:随机分析 g:鞅论 h:应用概率论 (具体应用入有关学科) i:概率论其他学科
18:数理统计学
a:抽样理论 (包括抽样分布、抽样调查等 )b:假设检验 c:非参数统计 d:方差分析 e:相关回归分析 f:统计推断 g:贝叶斯统计 (包括参数估计等) h:试验设计 i:多元分析 j:统计判决理论 k:时间序列分析 l:数理统计学其他学科
19:应用统计数学
a:统计质量控制 b:可靠性数学 c:保险数学 d:统计模拟
20:应用统计数学其他学科
21:运筹学
a:线性规划 b:非线性规划 c:动态规划 d:组合最优化 e:参数规划 f:整数规划 g:随机规划 h:排队论 i:对策论亦称博弈论 j:库存论 k:决策论 l:搜索论 m:图论 n:统筹论 o:最优化 p:运筹学其他学科
22:组合数学
23:模糊数学

24:量子数学

25:应用数学 (具体应用入有关学科)

26:数学其他学科

发展历史

数学(汉语拼音shù xué希腊语μαθηματικ英语Mathematics),源自于古希腊语μθημαmáthēma),其有学习、学问、科学之意。古希腊学者视其为哲学之起点,学问的基础。另外,还有个较狭隘且技术性的意义——“数学研究。即使在其语源内,其形容词意义凡与学习有关的,亦会被用来指数学的。

其在英语的复数形式,及在法语中的复数形式+esmathématiques,可溯至拉丁文的中性复数(Mathematica),由西塞罗译自希腊文复数τα μαθηματικάta mathēmatiká).

在中国古代,数学叫作算术,又称算学,最后才改为数学.中国古代的算术是六艺之一(六艺中称为).

数学起源于人类早期的生产活动,古巴比伦人从远古时代开始已经积累了一定的数学知识,并能应用实际问题.从数学本身看,他们的数学知识也只是观察和经验所得,没有综合结论和证明,但也要充分肯定他们对数学所做出的贡献.

基础数学的知识与运用是个人与团体生活中不可或缺的一部分.其基本概念的精炼早在古埃及美索不达米亚古印度内的古代数学文本内便可观见.从那时开始,其发展便持续不断地有小幅度的进展.但当时的代数学和几何学长久以来仍处于独立的状态.

代数学可以说是最为人们广泛接受的数学.可以说每一个人从小时候开始学数数起,最先接触到的数学就是代数学.而数学作为一个研究的学科,代数学也是数学最重要的组成部分之一.几何学则是最早开始被人们研究的数学分支.

直到16世纪的文艺复兴时期,笛卡尔创立了解析几何,将当时完全分开的代数和几何学联系到了一起.从那以后,我们终于可以用计算证明几何学的定理;同时也可以用图形来形象的表示抽象的代数方程.而其后更发展出更加精微的微积分

现时数学已包括多个分支.创立于二十世纪三十年代的法国的布尔巴基学派则认为:数学,至少纯数学,是研究抽象结构的理论.结构,就是以初始概念和公理出发的演绎系统.他们认为,数学有三种基本的母结构:代数结构,环,,格……)、序结构偏序全序……)、拓扑结构邻域极限连通性维数……).[1]

数学被应用在很多不同的领域上,包括科学工程医学经济学等.数学在这些领域的应用一般被称为应用数学,有时亦会激起新的数学发现,并促成全新数学学科的发展.数学家也研究纯数学,也就是数学本身,而不以任何实际应用为目标.虽然有许多工作以研究纯数学为开端,但之后也许会发现合适的应用.

具体的,有用来探索由数学核心至其他领域上之间的连结的子领域:由逻辑、集合论数学基础)、至不同科学的经验上的数学(应用数学)、以较近代的对于不确定性的研究(混沌模糊数学).

就纵度而言,在数学各自领域上的探索亦越发深入.

图中数字为国家二级学科编号.

学科结构

许多如数、函数几何等的数学对象反应出了定义在其中连续运算或关系的内部结构.数学就研究这些结构的性质,例如:数论研究整数在算数运算下如何表示.此外,不同结构却有着相似的性质的事情时常发生,这使得通过进一步的抽象,然后通过对一类结构用公理描述他们的状态变得可能,需要研究的就是在所有的结构里找出满足这些公理的结构.因此,我们可以学习、环、域和其他的抽象系统.把这些研究(通过由代数运算定义的结构)可以组成抽象代数的领域.由于抽象代数具有极大的通用性,它时常可以被应用于一些似乎不相关的问题,例如一些古老的尺规作图的问题终于使用了伽罗理论解决了,它涉及到域论和群论.代数理论的另外一个例子是线性代数,它对其元素具有数量和方向性的向量空间做出了一般性的研究.这些现象表明了原来被认为不相关的几何和代数实际上具有强力的相关性.组合数学研究列举满足给定结构的数对象的方法.

空间

空间的研究源自于欧式几何三角学则结合了空间及数,且包含有非常著名的勾股定理、三角函数等。现今对空间的研究更推广到了更高维的几何、非欧几何拓扑学.数和空间在解析几何、微分几何和代数几何中都有着很重要的角色.在微分几何中有着纤维丛流形上的计算等概念.在代数几何中有着如多项式方程的解集等几何对象的描述,结合了数和空间的概念;亦有着拓扑群的研究,结合了结构与空间.李群被用来研究空间、结构及变化.

基础

数学基础

为了弄清楚数学基础,数学逻辑集合论等领域被发展了出来.德国数学家康托尔1845-1918)首创集合论,大胆地向无穷大进军,为的是给数学各分支提供一个坚实的基础,而它本身的内容也是相当丰富的,提出了实无穷的思想,为以后的数学发展作出了不可估量的贡献.

集合论在20世纪初已逐渐渗透到了各个数学分支,成为了分析理论,测度论拓扑学及数理科学中必不可少的工具.20世纪初,数学家希尔伯特在德国传播了康托尔的思想,把集合论称为数学家的乐园数学思想最惊人的产物.英国哲学家罗素把康托的工作誉为这个时代所能夸耀的最巨大的工作

逻辑

数理逻辑

数学逻辑专注在将数学置于一坚固的公理架构上,并研究此一架构的成果.就其本身而言,其为哥德尔第二不完备定理的产地,而这或许是逻辑中最广为流传的成果.现代逻辑被分成递归论模型论证明论,且和理论计算机科学有着密切的关联性.

符号

数学符号

也许我国古代的算筹是世界上最早使用的符号之一,起源于商代的占卜.

我们现今所使用的大部分数学符号都是到了16世纪后才被发明出来的.在此之前,数学是用文字书写出来,这是个会限制住数学发展的刻苦程序.现今的符号使得数学对于人们而言更便于操作,但初学者却常对此感到怯步.它被极度的压缩:少量的符号包含著大量的讯息.如同音乐符号一般,现今的数学符号有明确的语法和难以以其他方法书写的讯息编码.

严谨性

数学语言亦对初学者而言感到困难.如何使这些字有着比日常用语更精确的意思,亦困恼着初学者,如开放和等字在数学里有着特别的意思.数学术语亦包括如同胚可积性等专有名词.但使用这些特别符号和专有术语是有其原因的:数学需要比日常用语更多的精确性.数学家将此对语言及逻辑精确性的要求称为严谨

严谨是数学证明中很重要且基本的一部分.数学家希望他们的定理以系统化的推理依着公理被推论下去.这是为了避免依着不可靠的直观,从而得出错误的定理"证明",而这情形在历史上曾出现过许多的例子.在数学中被期许的严谨程度因着时间而不同:希腊人期许着仔细的论点,但在牛顿的时代,所使用的方法则较不严谨.牛顿为了解决问题所作的定义,到了十九世纪才让数学家用严谨的分析及正式的证明妥善处理.今日,数学家们则持续地在争论电脑辅助证明的严谨度.当大量的计算难以被验证时,其证明亦很难说是有效地严谨.

数量

数量的学习起于数,一开始为熟悉的自然数及整数与被描述在算术内的有理和无理数.

另一个研究的领域为其大小,这个导致了基数和之后对无限的另外一种概念:阿列夫数,它允许无限集合之间的大小可以做有意义的比较.

简史

西方数学简史

数学的演进大约可以看成是抽象化的持续发展,或是题材的延展.而东西方文化也采用了不同的角度,欧洲文明发展出来几何学,而中国则发展出算术.第一个被抽象化的概念大概是数字(中国的算筹),其对两个苹果及两个橘子之间有某样相同事物的认知是人类思想的一大突破.除了认知到如何去数实际物件的数量,史前的人类亦了解如何去数抽象概念的数量,如时间日、季节和年.算术(加减乘除)也自然而然地产生了.

更进一步则需要写作或其他可记录数字的系统,如符木或于印加人使用的奇普.历史上曾有过许多各异的记数系统.

古时,数学内的主要原理是为了研究天文,土地粮食作物的合理分配,税务和贸易等相关的计算.数学也就是为了了解数字间的关系,为了测量土地,以及为了预测天文事件而形成的.这些需要可以简单地被概括为数学对数量、结构、空间及时间方面的研究.

西欧从古希腊到16世纪经过文艺复兴时代,初等代数、以及三角学初等数学已大体完备.但尚未出现极限的概念.

17世纪在欧洲变量概念的产生,使人们开始研究变化中的量与量的互相关系和图形间的互相变换.在经典力学的建立过程中,结合了几何精密思想的微积分的方法被发明.随着自然科学和技术的进一步发展,为研究数学基础而产生的集合论数理逻辑等领域也开始慢慢发展.

中国数学简史

中国数学史数学古称算学,是中国古代科学中一门重要的学科,根据中国古代数学发展的特点,可以分为五个时期:萌芽;体系的形成;发展;繁荣和中西方数学的融合.

相关

中国古代算术的许多研究成果里面就早已孕育了后来西方数学才涉及的思想方法,近现代也有不少世界领先的数学研究成果就是以华人数学家命名的:

李善兰恒等式数学家李善兰级数求和方面的研究成果,在国际上被命名为李善兰恒等式(或李氏恒等式).

华氏定理数学家华罗庚关于完整三角和的研究成果被国际数学界称为华氏定理;另外他与数学家王元提出多重积分近似计算的方法被国际上誉为王方法

苏氏锥面数学家苏步青在仿射微分几何学方面的研究成果在国际上被命名为苏氏锥面

熊氏无穷级数学家熊庆来关于整函数与无穷级的亚纯函数的研究成果被国际数学界誉为熊氏无穷级

陈示性类数学家陈省身关于示性类的研究成果被国际上称为陈示性类

周氏坐标数学家周炜良在代数几何学方面的研究成果被国际数学界称为周氏坐标;另外还有以他命名的周氏定理周氏环

吴氏方法数学家吴文俊关于几何定理机器证明的方法被国际上誉为吴氏方法;另外还有以他命名的吴氏公式

王氏悖论数学家王浩关于数理逻辑的一个命题被国际上定为王氏悖论

柯氏定理数学家柯召关于卡特兰问题的研究成果被国际数学界称为柯氏定理;另外他与数学家孙琦在数论方面的研究成果被国际上称为孙猜测

陈氏定理】数学家陈景润哥德巴赫猜想研究中提出的命题被国际数学界誉为陈氏定理

【杨张定理】数学家杨乐张广厚在函数论方面的研究成果被国际上称为张定理

【陆氏猜想】数学家陆启铿关于常曲率流形的研究成果被国际上称为陆氏猜想

【夏氏不等式】数学家夏道行在泛函积分和不变测度论方面的研究成果被国际数学界称为夏氏不等式

【姜氏空间】数学家姜伯驹关于尼尔森数计算的研究成果被国际上命名为姜氏空间;另外还有以他命名的姜氏子群

侯氏定理数学家侯振挺关于马尔可夫过程的研究成果被国际上命名为侯氏定理

周氏猜测】数学家周海中关于梅森素数分布的研究成果被国际上命名为周氏猜测

王氏定理数学家王戌堂关于点集拓扑学的研究成果被国际数学界誉为王氏定理

【袁氏引理】数学家袁亚湘在非线性规划方面的研究成果被国际上命名为袁氏引理

【景氏算子】数学家景乃桓在对称函数方面的研究成果被国际上命名为景氏算子

【陈氏文法】数学家陈永川在组合数学方面的研究成果被国际上命名为陈氏文法

数学名言

外国人物

万物皆数.——毕达哥拉斯

几何无王者之道.——欧几里德

数学是上帝用来书写宇宙的文字.——伽利略[2]

我决心放弃那个仅仅是抽象的几何.这就是说,不再去考虑那些仅仅是用来练思想的问题.我这样做,是为了研究另一种几何,即目的在于解释自然现象的几何.——笛卡儿Rene Descartes 1596-1650

数学家们都试图在这一天发现素数序列的一些秩序,我们有理由相信这是一个谜,人类的心灵永远无法渗入。——欧拉

数学中的一些美丽定理具有这样的特性:它们极易从事实中归纳出来, 但证明却隐藏的极深.数学是科学之王.——高斯

这就是结构好的语言的好处,它简化的记法常常是深奥理论的源泉.——拉普拉斯(PierreSimon Laplace 1749-1827)

如果认为只有在几何证明里或者在感觉的证据里才有必然,那会是一个严重的错误.——柯西Augustin Louis Cauchy 1789-1857

数学的本质在于它的自由.——康托尔Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor 1845-1918

音乐能激发或抚慰情怀,绘画使人赏心悦目,诗歌能动人心弦,哲学使人获得智慧,科学可改善物质生活,但数学能给予以上的一切.——克莱因(Christian Felix Klein 1849-1925

只要一门科学分支能提出大量的问题,它就充满着生命力,而问题缺乏则预示独立发展的终止或衰亡. ——希尔伯特David Hilbert 1862-1943

问题是数学的心脏.——保罗·哈尔莫斯Paul Halmos1916-2006
  时间是个常数,但对勤奋者来说,是个变数.用来计算时间的人比用小时来计算时间的人时间多59倍.——雷巴柯夫

中国人物

事类相推,各有攸归,故枝条虽分而同本干知,发其一端而已.又所析理以辞,解体用图,庶亦约而能周,通而不黩,览之者思过半矣.——刘徽

迟疾之率,非出神怪,有形可检,有数可推.——祖冲之429-500

新的数学方法和概念,常常比解决数学问题本身更重要.——华罗庚

数学表达上准确简洁、逻辑上抽象普适、形式上灵活多变,是宇宙交际的理想工具.——周海中[3]

科学需要实验.但实验不能绝对精确.如有数学理论,则全靠推论,就完全正确了.这科学不能离开数学的原因.

许多科学的基本观念,往往需要数学观念来表示.所以数学家有饭吃了,但不能得诺贝尔奖,是自然的.数学中没有诺贝尔奖,这也许是件好事.诺贝尔奖太引人注目,会使数学家无法专注于自己的研究.——陈省身

现代高能物理到了量子物理以后,有很多根本无法做实验,在家用纸笔来算,这跟数学家想样的差不了多远,所以说数学在物理上有着不可思议的力量.——丘成桐

看书和写作业要注意顺序.我们要养成良好的学习方法,尽量回家后先复习一下当天学习的知识,特别是所记的笔记要重点关照,然后再写作业,这样效果更佳.[4]

我国初等及以上数学的标点

数学是一门国际性的学科,对各个方面都要求严谨.

我国规定初等及以上的数学已可以算作是科技类文献[5]

我国规定文献类文章句号必须用,数学采用的目的一是为此,二是为了避免和下脚标混淆,三是因为我国曾在国际上投稿数学类研究报告,人家却不采用,因为外国的句号大多不是

在证明题中,(因为)后面要用(所以)后面要用,在一道大题中若有若干小问,则每小问结束接,最后一问结束用,在①②③④这样的序号后都应用表连接,最后一个序号后用表结束.[6-7]

世界七大数学难题

一:P(多项式算法)问题对NP(非多项式算法)问题 在一个周六的晚上,你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安,你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说,你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟,你就能向那里扫视,并且发现你的主人是正确的。然而,如果没有这样的暗示,你就必须环顾整个大厅,一个个地审视每一个人,看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是,如果某人告诉你,数13717421可以写成两个较小的数的乘积,你可能不知道是否应该相信他,但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803,那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧,判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证,还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解,被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克(StephenCook)于1971年陈述的。

二:霍奇(Hodge)猜想 二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上,我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用,使得它可以用许多不同的方式来推广;最终导至一些强有力的工具,使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是,在这一推广中,程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下,必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言,对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说,称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。

三:庞加莱(Poincare)猜想(已被证明) 如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带,那么我们可以既不扯断它,也不让它离开表面,使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面,如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上,那么不扯断橡皮带或者轮胎面,是没有办法把它收缩到一点的。我们说,苹果表面是单连通,而轮胎面不是。大约在一百年以前,庞加莱已经知道,二维球面本质上可由单连通性来刻画,他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难,从那时起,数学家们就在为此奋斗。

四:黎曼(Riemann)假设 有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质,例如,2,3,5,7,等等。这样的数称为素数;它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中,这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式;然而,德国数学家黎曼(1826~1866)观察到,素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s$的性态。著名的黎曼假设断言,方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。

五:杨-米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口 量子物理的定律是以经典力学牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前,杨振宁和米尔斯发现,量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨-米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实:布罗克哈文斯坦福欧洲粒子物理研究所筑波。尽管如此,他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是,被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于夸克的不可见性的解释中应用的质量缺口假设,从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。

六:纳维叶-斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性 起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船,湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信,无论是微风还是湍流,都可以通过理解纳维叶-斯托克斯方程的解,来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的,我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展,使我们能解开隐藏在纳维叶-斯托克斯方程中的奥秘。

七:贝赫(Birch)和斯维讷通-戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想 数学家总是被诸如x^2+y^2=z^2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答,但是对于更为复杂的方程,这就变得极为困难。事实上,正如马蒂雅谢维奇(Yu.V.Matiyasevich)指出,希尔伯特第十问题是不可解的,即,不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时,贝赫和斯维讷通-戴尔猜想认为,有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。特别是,这个有趣的猜想认为,如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(),相反,如果z(1)不等于0,那么只存在有限多个这样的点。

哥德巴赫猜想

174267日给欧拉的信中,哥德巴赫提出了以下猜想:a) 任一不小于6之偶数,都可以表示成两个奇质数之和;b) 任一不小于9之奇数,都可以表示成三个奇质数之和。欧拉在回信中也提出另一等价版本,即任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。现在通常把这两个命题统称为哥德巴赫猜想。把命题"任何一个大偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a+b"哥氏猜想就是要证明"1+1"成立。1966年陈景润证明了"1+2"成立,即"任何一个大偶数都可表示成一个素数与另一个素因子不超过2个的数之和"


  •                           数学基础


数学基础(Foundation of Mathematics)是研究整个数学的理论基础及其相关问题的一个专门学科,即研究数学的基础,回答“数学是什么?”,“数学的基础是什么?”,“数学是否和谐?”等等一些数学上的根本问题的学科。对于直觉主义逻辑主义和形式主义的异同,可以追溯到近代哲学家康德对数学本质的思考。康德认为算术来自先验主体对时间纯形式的直观,几何则是对空间纯形式的直观。这实质上是一种由主观而客观的思路。康德的思想后来又在胡塞尔那里得到继承和发展。胡塞尔就是从考虑“数在哪里”的问题提出现象学还原方法的。

 

简  介


编辑

数学基础(Foundation of Mathematics)是研究整个数学的理论基础及其相关问题的一个专门学科,即研究数学的基础,回答“数学是什么?”,“数学的基础是什么?”,“数学是否和谐?”等等一些数学上的根本问题的学科。对于直觉主义、逻辑主义和形式主义的异同,可以追溯到近代哲学家康德对数学本质的思考。康德认为算术来自先验主体对时间纯形式的直观,几何则是对空间纯形式的直观。这实质上是一种由主观而客观的思路。康德的思想后来又在胡塞尔那里得到继承和发展。胡塞尔就是从考虑“数在哪里”的问题提出现象学还原方法的。


历史及发展


编辑

对于数学基础的关注和研究,可追溯至古代。但在较长的历史阶段中,只限于对单科数学分支基础的讨论.至于作为整个数学理论基础的探索,尤其是“数学基础”作为一门专门学科的形成和诞生,乃是20世纪初的事.当时也是由于多种因素和研究活动的汇合,尤其是在作为整个经典数学之理论基础的集合论中出现悖论之后,才把数学基础问题的研究推向高潮,并进一步促进了数学哲学的发展,直至最终成为20世纪数学领域中深入的研究活动之一。关于几何基础的研究.欧几里得(Euclid)的《几何原本》一直被公认为是最早用严格的逻辑结构建立学科体系的典范.但其不足之处也一 直为历代学者所关心。直到19世纪末,德国数学家希尔伯特(Hilbert,D.)才第一次给出了一个完备的欧几里得几何公理系统,这就是希尔伯特《几何基础》一书的核心内容.关于欧几里得几何基础研究的另一个重要线索,来自关于第五公设问题的探讨,长达两千年之久对第五公设的所有试证全告失败,由此导致非欧几何的建立和引起人们对于几何公理系统相容性问题的注意.后来知道:只要假定实数系统是相容的,那么欧几里得几何公理系统和罗巴切夫斯基几何公理系统都是相容的。而实数系统究竟相容与否,最终还是要归结到作为整个经典数学理论基础的集合论系统相容与否。在其他方面,也有类似的涉及数学基础的问题.公元前5世纪,毕达哥拉斯学派的古希腊数学家希帕索斯


微积分基础奠基人之一,法国数学家柯西微积分基础奠基人之一,法国数学家柯西

(Hippasus,(M))发现了等腰直角三角形的直角边与斜边不可通约,由于当时人们对于无理数的概念还一无所知,因而上述发现致使人们惊奇不安,数学史上称为第一次数学危机.数学史上又把18世纪微积分诞生以后在数学界产生的混乱局面称为第二次数学危机.在17世纪和整个18世纪,一方面微积分的理论和应用得到了广泛而迅速的发展,另一方面整个微积分却又是建立在含混不清的无穷小概念上,以致遭到各方面的非难和攻击.其中最为著名而激烈的攻击来自贝克莱(Berkley,G.)大主教,有所谓贝克莱悖论等.这就不能不迫使数学家们认真投入到如何为微积分奠定理论基础的工作中去.首先是法国数学家、力学家柯西(Cauchy,A.-L.)系统地发展了极限论,德国数学家戴德金(Dedekind,(J.W.)R.)在实数论基础上证明了极限论的基本定理,德国数学家康托尔(Cantor,G.(F.P.))和德国数学家外尔斯特拉斯(Weierstrass,K.(T.W.))避开了实无限小和实无限大的概念,发展了ε-δ方法和精化了极限论,从而避开了贝克莱悖论并给出解释方法.当时普遍认为极限论作为严格的分析基础的建立,数学的第一和第二次危机已获解决.但在实际上,建立极限论是以实数理论为基础的,而要建立严格的实数理论,又必须以集合论为基础,亦即最终还是归结到作为整个经典数学理论基础的集合论是否相容的问题。


英国数学家、逻辑学家罗素英国数学家、逻辑学家罗素


19世纪,数学的各个分支都得到了迅速的发展,亟待建立一种能以统括各个数学分支的理论基础.这时康托尔系统地总结了长期以来数学的认识与实践,缔造了一门崭新的数学学科,即集合论.由于集合论的思想方法渗透到各个数学分支,同时从集合论的基本概念和思想规定出发,能导出整个经典数学,因此,大家公认集合论可以作为整个经典数学诸分支学科的共同的理论基础.但在集合论中却又偏偏出现了悖论,特别是那个十分基本而又直接涉及逻辑理论本身的罗素悖论的出现,惊动了整个西方数学界、逻辑学界和哲学界,人们恰当地将集合论悖论的出现所造成的困难局面,称之为第三次数学危机,而且在实质上是第一、第二次数学危机的进一步深化和发展,因为涉及的范围更大,涉及的问题更深。正是在这样的历史背景下,“数学基础论”这一数学分科在20世纪初诞生了,摆在从事数学基础问题研究的数学家面前的首要任务,就是如何为数学的有效性重新建立可靠的依据.由于在这一工作中所持的基本观点不同,以致在数学基础的研究中形成了诸如逻辑主义派、直觉主义派、形式主义派等不同的流派.另一方面,在如何避免悖论的研究中,直接导致了作为排除悖论的重要方案之一的近代公理集合论的发展,在近代公理集合论中,能对历史上已经出现之逻辑数学悖论一一给出解释方法,即保证这些悖论不在近代公理集合论中出现,同时迄今也未发现有新的悖论在系统内出现,但却未能从理论上证明近代公理集合论在今后的展开中永远不会出现矛盾.因而近代公理集合论相对于康托尔的古典集合论而言,为整个经典数学提供了一个相对牢固的理论基础.还应指出,近代公理集合论是立足于修改康托尔的概括原则而去实现避免悖论出现的。能否在集合论公理中保留概括原则而避免悖论?20世纪30年代,波茨娃尔(Бочевар,B.)曾考虑不修改概括原则,而立足于发展多值逻辑去避免悖论的出现,但却始终未能达到这一目标。


美国控制论专家扎德美国控制论专家扎德 [1]


20世纪60年代,美国控制论专家扎德(Zadeh,L.A.)明确提出要用数学的手段和方法去处理那些为经典数学所拒绝研究的模糊现象,并由此创立了模糊数学.这标志着数学的发展已进入数学研究对象由精确性到模糊性的再扩充时代.20世纪后期,模糊数学发展迅速,应用范围极为广阔.但在另一方面,模糊数学也同样面临着一个如何奠定其理论基础的问题.解决这一奠基问题的方案有如下三种:其一是将模糊数学直接或间接地奠基于近代公理集合论,但这样发展起来的模糊数学只能成为经典数学的分支,而不能在更高的形式下包括经典数学;其二是为模糊数学建立它所特有的公理集合论系统;其三是拓宽精确性经典数学的逻辑基础和集合论基础,在数学基础理论意义下解决模糊谓词的造集问题,以求能为精确性经典数学和未来的不确定性数学(应在内容和方法上有别于扎德的模糊数学)提供一个共同的理论基础。最后还应特别提到与数学基础论的发展有密切关系的另一个研究领域,这就是作为数学与哲学之间的边缘学科的数学哲学.数学哲学与哲学密切相关,但又与数学发展中的那些具有最普遍意义的课题有密切关系.当然,对于数学哲学的研究,无论是东方或西方,均可追溯到古代,但在很长的历史阶段中,数学哲学又只是作为自然哲学的一部分而未能形成独立的学科.直到19世纪末和20世纪初,由于数学基础论的诞生和发展,由于迫切需要深入研究数学领域中的那些带有极端普遍和根本性的问题,才促使数学哲学的研究日趋专门化,而最终形成独立的学科.特别是现代数学的蓬勃发展,又提出了一系列深刻的数学哲学问题,致使数学哲学这一学科进一步趋向全面繁荣的阶段.所以,数学哲学既是一个古老的研究领域,又是一门年轻的新兴学科.这一学科的研究价值和在数学发展中的作用日益明显,特别是关于数学认识论、数学方法论,以及数学发展规律的研究,有许多深刻的课题有待于人们去深入探索.数学哲学的研究包括数学本体论、数学认识论、数学方法论、数学发展的外在因素、数学发展规律以及数学哲学家的不同流派和观点等方面.数学哲学的研究将对数学工作者的世界观、思想方法、研究兴趣和研究力量的分布,甚至数学研究的基本趋势,都会产生重大影响. [2] 


现    状

编辑


\数学上,数学基础一词有时候用于数学的特定领域,例如数理逻辑公理化集合论证明论模型论,和递归论。但是寻求数学的基础也是数学哲学的中心问题:在什么终极基础上命题可以称为真?

占统治地位的数学范式是基于公理化集合论和形式逻辑的。事实上,所有的数学定理都可以用集合论的定理表述。数学命题的真实性在这个观点下,不过就是该命题可以从集合论公理使用形式逻辑推导出来。

这个形式化的方法不能解释一些问题:为什么我们选择我们所用的而不是其他的公理,为什么我们使用我们所用的逻辑规则而不是其他的,为什么"真"数学命题(例如,算数的皮亚诺公理)在物理世界中似乎是真的。这被Eugene Wigner在1960年叫做“数学在自然科学中无理由的有效性”(The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences)。上述的形式化真实性也可能完全没有意义:完全可能所有命题,包括自相矛盾的命题,都可以从集合论公理导出。而且,作为歌德尔第二不完备定理的一个结果,我们永远不可能知道事情是不是就是这样。在数学现实主义(有时也叫柏拉图主义)中,独立于人类的数学对象的世界的存在性被作为一个基本假设;这些对象的真实性由人类发现。在这种观点下,自然定律和数学定律有同样的地位,而"有效性"不再"无理由"。不仅是我们的公理,而且是数学对象的真实世界构成了基础。那么,明显的问题在于,我们如何接触这个世界?一些数学哲学的现代理论不承认基础在其原始意义上的存在性。有些理论倾向于聚焦于数学实践,把目标设定于描述和分析数学家作为社交群体的真实工作。其他的试图创造一个数学认知科学,聚焦于把人类的认知作为数学应用到"现实世界"时的可靠性的起点。这些理论建议只在人类的思考中找到基础,而不是任何"客观"的外在构造。这个主题一直很有争论性。


三次数学危机


编辑

     第一次危机


第一次是公元前5世纪毕达哥拉斯学派希帕索斯发现不可共度线段:正方形的一边与其对角线不可公度,即发现不是有理数。这次危机导致无理数及几何公理系统的建立——欧几里得几何原本诞生。尽管原本还不是严格的公理系统,但它充分表明直观、经验不可全信,几千年来对几何学的研究,特别是后来对非欧几何的研究促使几何学走向严格的公理化。严格公理化的几何就是几何基础也是数学基础的一部分。


第二次危机


17世纪后半期I.牛顿和G.W.莱布尼兹创立了微积分学,但他们对无穷小的解释很难令人满意,英国主教G.贝克莱抨击当时的微积分,指出它在逻辑上有明显的问题,这便是第二次数学危机。这次危机的出现使数学家们意识到不为微积分建立牢固的基础,只进行运算是不行的。19世纪A.L柯西、K.魏尔斯特拉斯等创立了极限论,以极限为基础建立微积分学。A.鲁宾孙于1960年创立了非标准分析,把实数域扩充到包含无穷小和无穷大的超实数域,圆满解决了“无穷小的矛盾”问题。与此同时,传统逻辑发展为数理逻辑。数理逻辑是数学基础的重要内容。


第三次危机


数学上的第三次危机一般认为始于1902年B.A.W.罗素发现的悖论,后人称这个悖论为罗素悖论:以S表示所有不以自身为元素的集合的全体。按照集合论的概括原则(构成集合的原则),S应该是一个集合。问S是否是S的一个元素?如果S∈S,则按照S的定义应有SS;如果SS,则按S的定义又应有S∈S。无论哪种情况都导致矛盾。罗素悖论动摇了集合论,也动摇了当时的数学基础。因为罗素悖论只涉及最基本的集合论概念:集合,元素,属于和概括原则,它的构成十分清楚明白。这个悖论的出现说明以往的朴素集合论中包含矛盾,因而以集合论为基础的整个数学就不能没有矛盾。这个悖论也同时说明数学中采用的逻辑也不是没有问题的。数学上的第三次危机使数学界和逻辑学界都感到问题的严重性。罗素悖论表明不能无条件承认概括原则,然而概括原则的改变将使集合论大为改观,因此对整个数学的影响是巨大的。集合论中包含矛盾这个事实,实际上稍早以前就已发现。朴素集合论的创始人G.康托尔,1895年就发现了“最大序数悖论”(所有序数的集合有更大序数);1899年他又发现“最大基数悖论”(所有集合的集合有最大基数,但由这个集合的一切子集构成的集合有更大的基数)。对于这两个悖论当时人们也感到吃惊,但认为这是集合论中的一些技术性问题,只要作一些技术改进就可消除,因此没有引起人们的极大关注 [3]  。


危机的影响


三次数学危机的发生是数学深入发展的结果,许多数学家为消除危机作了不懈的努力。这些努力促进了数学的发展,特别是促进了数学基础的研究。其中第三次危机对数学的影响更大。人们公认集合论是数学的基础,在数学中有着广泛的应用,任何一门数学都离不开它。非欧几何学的和谐性归结为欧几里得几何学的和谐性;欧几里得几何学的和谐性又归结为实数系统的和谐性;而实数系统的和谐最终归结为集合论的和谐性。但集合论是有矛盾的。第三次数学危机开始时,很多数学家对集合论的改造持旁观态度,认为可由逻辑学家去讨论。后来发现这样行不通,因为在数学论证中每人必须采用某一派的观点,无法回避。


研究学派


编辑

自罗素悖论发现以来,对数学基础的研究有三个主要派别:逻辑主义、形式主义和直觉主义


逻辑主义


怀特海怀特海

以罗素和A.N怀特海为代表。他们认为所有数学概念都归结为自然数算术的概念,而算术概念可借助逻辑由定义给出。他们试图建立一个包括所有数学的逻辑公理系统,并由此推出全部数学。逻辑主义认为数学是逻辑的延伸,在罗素的公理系统中不得不引用了非逻辑的选择公理和无穷公理。如果没有这两条公理就无法推导出全部算术,更不用说全部数学。当然,罗素的公理系统充分发展了数理逻辑的公理体系,并且在此基础上展示了丰富的数学内容,对数理逻辑和数学基础的研究起了极大的推动作用,贡献是很大的。

直觉主义

布劳威尔布劳威尔

又称构造主义。它的代表人物是L.E.J.布劳威尔。直觉主义者认为数学产生于直觉,论证只能用构造方法,他们认为自然数是数学的基础。当证明一个数学命题正确时,必须给出它的构造方法,否则就是毫无意义的,直觉主义认为古典逻辑是从有穷集合及其子集抽象出来的,把它应用于无穷数学就必然引起矛盾。他们反对在无穷集合中使用排中律。他们不承认实无穷体,认为无穷是潜在的,只不过是无限增长的可能性。可构造性对数理逻辑及计算技术的发展有重要作用。但直觉主义使数学变得非常繁琐复杂。失去了数学的美,因而不被大多数数学家接受。


形式主义


希尔伯特希尔伯特

以D.希尔伯特为代表,可以说是希尔伯特的数学观点和数学基础观点。希尔伯特主张捍卫排中律,他认为要避免数学中的悖论,只要使数学形式化和证明标准化。为了使形式化后的数学系统不包含矛盾,他创立了证明论(元数学)。他试图用有穷方法证明各个数学分支的和谐性。1931年K.哥德尔证明了不完全性定理,表明希尔伯特方案不能成功。后来许多人对希尔伯特方案加以改进。W.K.J.基灵利用超限归纳法证明了算术的无矛盾性。在数学基础的研究中,鲁宾孙,P.J.科恩自称为形式主义者(希尔伯特本人不认为自己是形式主义者),他们认为数学所研究的不过是一些毫无内容的符号系统,“无穷集”,“无穷整体”等在客观上是不存在的。希尔伯特的设想虽然没有实现,但却创立了证明论,又促进了递归论的发展,因此对数学基础的研究有很大的贡献。

古代由于科学技术发展水平的限制,无需专门研究数学基础,这种情况一直持续到牛顿莱布尼兹创立微积分的时代。非欧几何的出现使人们意识到必须为数学建立不依赖于直观的基础,必须研究数学的可靠性,特别是无矛盾性,无公度线段的存在及集合论的悖论说明人们不能只依靠直观,而必须为数学建立严格的逻辑基础,解决数学的哲学基础问题。因此数学基础是包括哲学方法论和逻辑等诸方面问题的学科,数学基础现已形成数学的重要分支之一。

#罗素悖论康托尔悖论数学基础的“三大数学流派

《古今数学思想》书中 (第四册289页) 指出:二十世纪数学中最为深入的活动,使关于基础的探讨,强加于数学家的问题,以及他们自愿承担的问题,不仅牵涉到数学的本质,也牵涉到演绎数学的正确性。

在这世纪的前期,有几种活动汇合起来把基础问题引到一个高潮,首先是矛盾的发现,委婉地被称为悖论,在集合论中尤为突出。……。

《古今数学思想》书中 (第四册290页) 指出:“理发师的悖论”,罗素在1918年把一个悖论通俗化成为“理发师悖论”,一个乡村理发师,自夸无人可与相比,宣称他当然不给自己刮脸的人刮脸,但却给所有自己不刮脸的人刮脸,一天他发生了疑问,他是否应当给自己刮脸,假如他自己刮脸的话,则按他声言的前一半,他就不应当给自己刮脸;但是假如他自己不刮脸的话,则照他自夸的,他又必须给自己刮脸,这理发师陷入了逻辑的窘境。


数学·包含学科


14 逻辑与基础▪ 1410:演绎逻辑学▪ 1420:证明论▪ 1430:递归论▪ 1440:模型论▪ 1450:公理集合论▪ 1460:数学基础▪ 1499:数理逻辑与数学基础其他学科
17 数论▪ 1710:初等数论▪ 1720:解析数论▪ 1730:代数数论▪ 1740:超越数论▪ 1750:丢番图逼近▪ 1760:数的几何▪ 1770:概率数论▪ 1780:计算数论▪ 1799:数论其他学科
21 代数学▪ 2110:线性代数▪ 2115:群论▪ 2120:域论▪ 2125:李群▪ 2130:李代数▪ 2135:Kac-Moody代数▪ 2140:环论▪ 2145:模论▪ 2150:格论▪ 2155:泛代数理论▪ 2160:范畴论▪ 2165:同调代数▪ 2170:代数K理论▪ 2175:微分代数▪ 2180:代数编码理论▪ 2199:代数学其他学科
27 几何学▪ 2710:几何学基础▪ 2715:欧氏几何学▪ 2720:非欧几何学▪ 2725:球面几何学▪ 2730:向量和张量分析▪ 2735:仿射几何学▪ 2750:分数维几何▪ 2740:射影几何学▪ 2745:微分几何学▪ 2755:计算几何学▪ 2799:几何学其他学科
31 拓扑学▪ 3110:点集拓扑学▪ 3115:代数拓扑学▪ 3120:同伦论▪ 3125:低维拓扑学▪ 3130:同调论▪ 3135:维数论▪ 3140:格上拓扑学▪ 3145:纤维丛论▪ 3150:几何拓扑学▪ 3155:奇点理论▪ 3160:微分拓扑学▪ 3199:拓扑学其他学科
34 数学分析▪ 3410:微分学▪ 3420:积分学▪ 3430:级数论▪ 3499:数学分析其他学科
41 函数论▪ 4110:实变函数论▪ 4120:单复变函数论▪ 4130:多复变函数论▪ 4140:函数逼近论▪ 4150:调和分析▪ 4160:复流形▪ 4170:特殊函数论▪ 4199:函数论其他学科
44 常微分方程▪ 4410:定性理论▪ 4420:稳定性理论▪ 4430:解析理论▪ 4499:常微分方程其他学科
47 偏微分方程▪ 4710:椭圆型偏微分方程▪ 4720:双曲型偏微分方程▪ 4730:抛物型偏微分方程▪ 4740:非线性偏微分方程▪ 4799:偏微分方程其他学科
51 动力系统▪ 5110:微分动力系统▪ 5120:拓扑动力系统▪ 5130:复动力系统▪ 5199:动力系统其他学科
57 泛函分析▪ 5710:线性算子理论▪ 5715:变分法▪ 5720:拓扑线性空间▪ 5725:希尔伯特空间▪ 5730:函数空间▪ 5735:巴拿赫空间▪ 5740:算子代数▪ 5745:测度与积分▪ 5750:广义函数论▪ 5755:非线性泛函分析▪ 5799:泛函分析其他学科
61 计算数学▪ 6110:插值法与逼近论▪ 6120:常微分方程数值解▪ 6130:偏微分方程数值解▪ 6140:积分方程数值解▪ 6150:数值代数▪ 6160:连续问题离散化方法▪ 6170:随机数值实验▪ 6180:误差分析▪ 6199:计算数学其他学科
64 概率论▪ 6410:几何概率▪ 6420:概率分布▪ 6430:极限理论▪ 6440:随机过程▪ 6450:马尔可夫过程▪ 6460:随机分析▪ 6470:鞅论▪ 6480:应用概率论▪ 6499:概率论其他学科
67 数理统计学▪ 6710:抽样理论▪ 6715:假设检验▪ 6720:非参数统计▪ 6725:方差分析▪ 6730:相关回归分析▪ 6735:统计推断▪ 6740:贝叶斯统计▪ 6745:试验设计▪ 6750:多元分析▪ 6755:统计判决理论▪ 6760:时间序列分析▪ 6799:数理统计学其他学科
71 应用统计数学▪ 7110:统计质量控制▪ 7120:可靠性数学▪ 7130:保险数学▪ 7140:统计模拟▪ 7199:应用统计数学其他学科
74 运筹学▪ 7410:线性规划▪ 7415:非线性规划▪ 7420:动态规划▪ 7425:组合最优化▪ 7430:参数规划▪ 7435:整数规划▪ 7440:随机规划▪ 7445:排队论▪ 7450:对策论▪ 7460:决策论▪ 7455:库存论▪ 7465:搜索论▪ 7470:图论▪ 7475:统筹论▪ 7480:最优化▪ 7499:运筹学其他学科
其他二级学科▪ 11:数学史▪ 24:代数几何学▪ 37:非标准分析▪ 54:积分方程▪ 77:组合数学▪ 81:离散数学▪ 84:模糊数学▪ 87:应用数学▪ 99:数学其他学科



A-F数学名词

八边形

八面体

百分比

百分点

百分位数

半径

半球

半圆

被乘数

被除数

被加数

被减数

比例

变量

标准差

表面积

并集

补集

不等边三角形

不等式

不定积分

常量

乘方

乘数

除数

垂心

次方

次方根

大于

大于等于

代数

单调性

单项式

导数

等边三角形

等式方程式

等腰三角形

等腰梯形

等于

底面

定积分

定理

定义域

对数

钝角

钝角三角形

多边形

多面体

二次方程

多项式

二次方根平方根

二次方平方

二进制

二十面体

反余割

反余切

反余弦

反正割

反正切

反正弦

方差

非正态分布

分布

分母

分数

分子

复数






《高等数学》

http://v.ku6.com/special/show_2575116/RMBjoIs51jjImkLi.html?lb=1

http://v.dxsbb.com/ligong/1575/

http://video.1kejian.com/university/zikao/68257/

《概率论与数理统计》

http://v.dxsbb.com/ligong/1553/

http://v.dxsbb.com/ligong/1680/

http://v.dxsbb.com/ligong/320/

http://v.dxsbb.com/ligong/950/

《线性代数》

http://v.dxsbb.com/ligong/1408/

http://v.dxsbb.com/ligong/546/

http://v.dxsbb.com/gongkaike/136/

《线性规划》

http://v.dxsbb.com/ligong/1616/

《数学分析》

http://v.dxsbb.com/ligong/468/

《高等代数》

http://v.dxsbb.com/ligong/463/

离散

http://v.dxsbb.com/ligong/1413/player-0-11.html

http://v.dxsbb.com/ligong/464/player-0-14.html

《模糊数学及其应用》

http://v.dxsbb.com/ligong/1575/

《矩阵数学》

http://v.dxsbb.com/ligong/2180/

《集合论与图论》

http://v.dxsbb.com/ligong/1699/

《图论及其算法》

http://v.dxsbb.com/ligong/2180/

《时间序列分析》

http://v.dxsbb.com/ligong/2048/

《SAS统计软件》

http://v.dxsbb.com/ruanjian/872/

《高等数学》

http://v.ku6.com/special/show_2575116/RMBjoIs51jjImkLi.html?lb=1

http://v.dxsbb.com/ligong/1575/

http://video.1kejian.com/university/zikao/68257/

《高中数学》

http://video.1kejian.com/senior/seniorall/8558/

http://video.1kejian.com/senior/senior3/78276/

http://video.1kejian.com/senior/seniorall/78367/

http://video.1kejian.com/senior/seniorall/78367/

《初中数学》

http://video.1kejian.com/junior/juniorall/74701/

http://video.1kejian.com/junior/juniorall/75543/

http://video.1kejian.com/junior/juniorall/74701/

数苑网

(http://www.math168.com/)

数学工具

http://www.mathtool.cn/Index.htm

高等数学

http://math.fudan.edu.cn/gdsx/

数学世界

(http://mathworld.wolfram.com/)

数          学

14 逻辑与基础▪ 1410:演绎逻辑学▪ 1420:证明论▪ 1430:递归论▪ 1440:模型论▪ 1450:公理集合论1460:数学基础▪ 1499:数理逻辑与数学基础其他学科
17 数论▪ 1710:初等数论▪ 1720:解析数论▪ 1730:代数数论▪ 1740:超越数论▪ 1750:丢番图逼近▪ 1760:数的几何▪ 1770:概率数论▪ 1780:计算数论▪ 1799:数论其他学科
21 代数学▪ 2110:线性代数▪ 2115:群论▪ 2120:域论▪ 2125:李群▪ 2130:李代数▪ 2135:Kac-Moody代数▪ 2140:环论▪ 2145:模论▪ 2150:格论▪ 2155:泛代数理论▪ 2160:范畴论▪ 2165:同调代数▪ 2170:代数K理论▪ 2175:微分代数▪ 2180:代数编码理论▪ 2199:代数学其他学科
27 几何学▪ 2710:几何学基础▪ 2715:欧氏几何学▪ 2720:非欧几何学▪ 2725:球面几何学▪ 2730:向量和张量分析▪ 2735:仿射几何学▪ 2750:分数维几何▪ 2740:射影几何学▪ 2745:微分几何学▪ 2755:计算几何学▪ 2799:几何学其他学科
31 拓扑学▪ 3110:点集拓扑学▪ 3115:代数拓扑学▪ 3120:同伦论▪ 3125:低维拓扑学▪ 3130:同调论▪ 3135:维数论▪ 3140:格上拓扑学▪ 3145:纤维丛论▪ 3150:几何拓扑学▪ 3155:奇点理论▪ 3160:微分拓扑学▪ 3199:拓扑学其他学科
34 数学分析▪ 3410:微分学▪ 3420:积分学▪ 3430:级数论▪ 3499:数学分析其他学科
41 函数论▪ 4110:实变函数论▪ 4120:单复变函数论▪ 4130:多复变函数论▪ 4140:函数逼近论▪ 4150:调和分析▪ 4160:复流形▪ 4170:特殊函数论▪ 4199:函数论其他学科
44 常微分方程▪ 4410:定性理论▪ 4420:稳定性理论▪ 4430:解析理论▪ 4499:常微分方程其他学科
47 偏微分方程▪ 4710:椭圆型偏微分方程▪ 4720:双曲型偏微分方程▪ 4730:抛物型偏微分方程▪ 4740:非线性偏微分方程▪ 4799:偏微分方程其他学科
51 动力系统▪ 5110:微分动力系统▪ 5120:拓扑动力系统▪ 5130:复动力系统▪ 5199:动力系统其他学科
57 泛函分析▪ 5710:线性算子理论▪ 5715:变分法▪ 5720:拓扑线性空间▪ 5725:希尔伯特空间▪ 5730:函数空间▪ 5735:巴拿赫空间▪ 5740:算子代数▪ 5745:测度与积分▪ 5750:广义函数论▪ 5755:非线性泛函分析▪ 5799:泛函分析其他学科
61 计算数学▪ 6110:插值法与逼近论▪ 6120:常微分方程数值解▪ 6130:偏微分方程数值解▪ 6140:积分方程数值解▪ 6150:数值代数▪ 6160:连续问题离散化方法▪ 6170:随机数值实验▪ 6180:误差分析▪ 6199:计算数学其他学科
64 概率论▪ 6410:几何概率▪ 6420:概率分布▪ 6430:极限理论▪ 6440:随机过程▪ 6450:马尔可夫过程▪ 6460:随机分析▪ 6470:鞅论▪ 6480:应用概率论▪ 6499:概率论其他学科
67 数理统计学▪ 6710:抽样理论▪ 6715:假设检验▪ 6720:非参数统计▪ 6725:方差分析▪ 6730:相关回归分析▪ 6735:统计推断▪ 6740:贝叶斯统计▪ 6745:试验设计▪ 6750:多元分析▪ 6755:统计判决理论▪ 6760:时间序列分析▪ 6799:数理统计学其他学科
71 应用统计数学▪ 7110:统计质量控制▪ 7120:可靠性数学▪ 7130:保险数学▪ 7140:统计模拟▪ 7199:应用统计数学其他学科
74 运筹学▪ 7410:线性规划▪ 7415:非线性规划▪ 7420:动态规划▪ 7425:组合最优化▪ 7430:参数规划▪ 7435:整数规划▪ 7440:随机规划▪ 7445:排队论▪ 7450:对策论▪ 7460:决策论▪ 7455:库存论▪ 7465:搜索论▪ 7470:图论▪ 7475:统筹论▪ 7480:最优化▪ 7499:运筹学其他学科
其他二级学科▪ 11:数学史▪ 24:代数几何学▪ 37:非标准分析▪ 54:积分方程▪ 77:组合数学▪ 81:离散数学▪ 84:模糊数学▪ 87:应用数学▪ 99:数学其他学科

国际数学家联盟

(http://www.mathunion.org/)

中科院数学所

http://www.amss.ac.cn/

Fields Medal

(http://en.wikipedia.org/wiki/Fields_Medal)

math

(http://www.math.com/)


沈律(shenlu,1962—)


作者简介

沈律(1962-)男、安徽人、中国科技大学毕业、研究生学历;

皖南医学院科学技术学研究所所长、曾任皖南医学院恩普科技咨询公司经理。

研究方向:科学技术学与科技管理、科学计量学、经济计量学、生物计量学(生物数学)、生命科学与医学。

QQ:528591384;E-mail528591384@qq.com

 

timg (6).jpg

—————————————————————————————————————————

为创立和发展科学技术学事业而努力奋斗

(http://blog.sciencenet.cn/blog-38450-803272.html )

现代生命科学与医学概述

http://blog.sciencenet.cn/blog-38450-1006636.html)

现代数学概述

http://blog.sciencenet.cn/blog-38450-1065692.html

现代物理学概述

http://blog.sciencenet.cn/blog-38450-1143872.html 

现代化学概述

http://blog.sciencenet.cn/blog-38450-1143874.html 

现代天文学概述

http://blog.sciencenet.cn/blog-38450-1146415.html 

现代地理学概述

http://blog.sciencenet.cn/blog-38450-1146424.html 

现代计算机与计算机科学概述

http://blog.sciencenet.cn/blog-38450-1143876.html 





转载本文请联系原作者获取授权,同时请注明本文来自沈律科学网博客。

链接地址:http://wap.sciencenet.cn/blog-38450-1065692.html?mobile=1

收藏

分享到:

当前推荐数:9
推荐到博客首页
网友评论9 条评论
确定删除指定的回复吗?
确定删除本博文吗?