直接由二项分布道法自然推导出幂律和其他种种分布

美国归侨冯向军博士，2017年7月20日写于美丽家乡

【摘要】二项分布是一种最自然的发生概率分布。由二项分布可推导出一般形式的广义泊松分布。由一般形式的广义泊松分布可直接推导出幂律和其他种种分布。这也就是说幂律和其他种种分布都是某种意义上的二项分布：关于冯向军泛有序对（A，非A)的分布。

（一）二项分布【1】

考察由n次随机实验所组成的随机现象，它满足以下条件：1)重复进行n次随机实验；2)n次实验相互独立；3)每次实验仅有两个可能结果；4)每次实验中给定事件出现的概率为p，不出现的概率为1-p。假设Y表示n次独立重复实验中给定事件出现的次数，显然Y是可以取0，1，…，n等n+1个值的离散随机变量。假设这n次实验中，每个“给定事件出现k次的结果”为Ek，显然Ek的发生概率为p^k(1-p)^n-k。因为这样的结果有：n!/k!(n-k)!个，所以按照柯尔莫哥洛夫概率的可加性，这n次实验中，给定事件出现k次的概率

P(Y=k) = n!/(k!(n-k)!)p^k (1-p)^(n-k)，k = 0，1，...,n。      (1-1)

（1-1）式就是二项分布的概率分布表达式。

二项分布的基本事件是给定事件出现的概率为p，不出现的概率为1-p的事件。

二项分布的基本事件 = pA + (1-p)非A = 冯向军泛有序对（A，非A）的一般归一化线性叠加展开。

这其中 A = （1，0）= 给定事件出现；非A = （0，i*1）= 给定事件不出现，i = +1 或 -1。因此，可以认为：二项分布是基于冯向军泛有序对（A，非A）的事件的概率分布。

（二）恒等式

(1+1/n)ⁿ ->e， $%uFF081-\lambda/n)^n \rightarrow e^-\lambda " original="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%uFF081-\lambda/n)^n \rightarrow e^-\lambda " style="margin:0px;padding:0px;word-wrap:break-word;max-width:620px;display:inline;$ 当n->无穷大。

(1 - b/ n)ⁿ->e^-b，当n->无穷大。

（三）广义泊松分布的一般形式

 假设把任意给定的变量x>=0等分成n个变量片段。当n足够大时，在每个等分变量片段上给定事件要么出现1次，要么不出现。又假设给定事件出现（1次）的概率p是变量片段的长度x/n的某种函数，并且有：p = -log(f(x))/n = log(1/f(x))/n。按（1-1）式，变量不大于x时给定事件出现的概率的分布为：

P(Y = k) = n!/(k!(n-k)!)(（-log(f(x))/n)^k (1+log（f(x))/n)^(n-k)    (1-2)

P（Y= k) = n!/(n^k(n-k)!)(1+log(f(x))/n)^-k（-log(f(x））^k/k!（1+log（f(x))/n)ⁿ

= (n/n)（1-1/n)(1-2/n)...(1-(k-1)/n)(1+log(f(x)/n)^-k*

*((-log(f(x))^k/k!（1+log(f(x)/n)ⁿ

当 n->无穷大

P（Y= k) =((-log(f(x))^k /k! e^log(f(x)) =  (-log(f(x))^k / k! * f(x)    （1-3)

这就是一般形式的广义泊松分布。

（三）所有符合柯尔莫哥洛夫概率公理的概率分布

假设变量小于x时给定事件都不发生，要等到变量等于x以后给定事件才出现或发生。那么，由式（1-3)，有：等到变量等于x以后给定事件才出现的概率：

P(x) = P（Y= k = 0) =  f(x)        (1-4)

所以 (1-4)式实际上是在说：所有符合柯尔莫哥洛夫概率公理的概率分布f(x)都是某种意义上的二项分布，都能通过二项分布推导出来。又因为：二项分布是基于冯向军泛有序对（A，非A）的事件的概率分布，所以：所有符合柯尔莫哥洛夫概率公理的概率分布都是某种意义上的基于冯向军泛有序对（A，非A）的事件的概率分布。对于任意给定的符合柯尔莫哥洛夫概率公理的概率分布f(x)，只要假设二项分布的基本事件中给定事件出现或发生的概率

p = -log(f(x))/ n 或 p为变量片段的长度x/n的某种函数：-log(f(x))/ n

就可推导出：等到变量等于x以后给定事件才出现的概率

P(x) = 所给定的符合柯尔莫哥洛夫概率公理的概率分布f(x)。

【举例】

对于幂律f(x）= ax^-b，只要假设二项分布的基本事件中给定事件出现或发生的概率

p = -log(ax^-b))/ n =  (-log(a) + blog(x)) / n

就可推导出：等到变量等于x以后给定事件才出现的概率

P(x) = 所给定的符合柯尔莫哥洛夫概率公理的概率分布f(x)= ax^-b。

对于负指数f(x）= aexop(-bx)，只要假设二项分布的基本事件中给定事件出现或发生的概率

p = -log(aexp(-bx))/ n =  (-log(a) + bx) / n

就可推导出：等到变量等于x以后给定事件才出现的概率

P(x) = 所给定的符合柯尔莫哥洛夫概率公理的概率分布f(x)= aexp(-bx)。

对于均匀分布f(x）= 1/N，只要假设二项分布的基本事件中给定事件出现或发生的概率

p = -log(1/N)/ n = log（N） / n

就可推导出：等到变量等于x以后给定事件才出现的概率

P(x) = 所给定的符合柯尔莫哥洛夫概率公理的概率分布f(x)= 1/N。

参考文献

【1】冯向军，由二项分布推导泊松分布和负指数分布，科学网，2017年月19日。http://blog.sciencenet.cn/blog-1968-1067190.html