由二项分布推导出张学文快刀斩乱麻分布

美国归侨冯向军博士，2017年7月20日写于美丽家乡

【摘要】本文暂时忘失一切由种种极值原理配合约束条件来求概率分布的方法，返朴归真，从最朴素的二项分布出发，自然而直接地推导出张学文快刀斩乱麻实验中的乱麻长度分布：张学文快刀斩乱麻分布【1】。

（一）二项分布【2】

考察由n次随机实验所组成的随机现象，它满足以下条件：1)重复进行n次随机实验；2)n次实验相互独立；3)每次实验仅有两个可能结果；4)每次实验中给定事件出现的概率为p，不出现的概率为1-p。假设Y表示n次独立重复实验中给定事件出现的次数，显然Y是可以取0，1，…，n等n+1个值的离散随机变量。假设这n次实验中，每个“给定事件出现k次的结果”为Ek，显然Ek的发生概率为p^k(1-p)^n-k。因为这样的结果有：n!/k!(n-k)!个，所以按照柯尔莫哥洛夫概率的可加性，这n次实验中，给定事件出现k次的概率

P(Y=k) = n!/(k!(n-k)!)p^k (1-p)^(n-k)，k = 0，1，...,n。       (1-1)

（1-1）式就是二项分布的概率分布表达式。

（二）恒等式

(1+1/n)ⁿ ->e， $%uFF081-\lambda/n)^n \rightarrow e^-\lambda " original="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%uFF081-\lambda/n)^n \rightarrow e^-\lambda " style="margin:0px;padding:0px;word-wrap:break-word;max-width:620px;display:inline;$ 当n->无穷大。

(1 - b/ n)ⁿ->e^-b，当n->无穷大。

（三）广义泊松分布

假设把任意给定的变量x>=0等分成n个变量片段。当n足够大时，在每个等分变量片段上给定事件要么出现1次，要么不出现。又假设给定事件出现（1次）的概率p与变量片段的长度x/n成正线性关系。有：p = （bx + c)/n。这其中，b > 0。按（1-1）式，变量不大于x时给定事件出现的概率的分布为

P(Y = k) = n!/(k!(n-k)!)(（bx+c)/n)^k (1-(bx+c)/n)^(n-k)        (1-2)

P（Y= k) = n!/(n^k(n-k)!)(1-(bx+c)/n)^-k（(bx+c))^k/k!（1-(bx+c)/n)ⁿ

= (n/n)（1-1/n)(1-2/n)...(1-(k-1)/n)(1-(bx+c)/n)^-k((bx+c))^k/k!（1-(bx+c)/n)ⁿ

当 n->无穷大

P（Y= k) =((bx+c))^k / k! e^-(bx+c)            (1-3)

这就是广义泊松分布。

（三）负指数分布

假设变量小于x时给定事件都不发生，要等到变量等于x以后给定事件才出现或发生。那么，给定事件在等到变量等于x以后才发生的概率关于x的分布为：

P（x）= P(Y=0) = e-^(bx+c) = ae^-bx        (1-4)

这其中，a = e^-c。

这就是负指数分布。

(四）张学文快刀斩乱麻分布

假设乱麻长度小于x时张学文快刀斩乱麻实验中的乱麻都不出现或不发生，要等到乱麻长度等于x以后乱麻才发生。那么，乱麻在等到其长度等于x以后才发生的概率是x的函数，乱麻在等到其长度等于x以后才发生的概率关于x的分布为：

P（x）= P(Y=0) = ae-^bx         (1-4)

显然，x越小，乱麻在等到其长度等于x以后才发生的概率就越大。这就是张学文快刀斩乱麻分布。

经过对张学文先生的连续分布模型离散化，我已确定a和b的值分别是【3】：

a = 64.87

b = 0.1

参考文献

【1】冯向军，张学文快刀斩乱麻实验，科学网，2017年月15日。

http://blog.sciencenet.cn/blog-1968-1066532.html

【2】冯向军，由二项分布推导泊松分布和负指数分布，科学网，2017年月19日。

http://blog.sciencenet.cn/blog-1968-1067190.html

【3】冯向军，对张学文快刀斩乱麻实验的友好再研究，2017年7月18日。

http://blog.sciencenet.cn/blog-1968-1066954.html