对照我请DeepSeek介绍的布朗运动及其数学期望，和高老师引用的教材说的有很大不同。布朗运动和随机过程基础理论都是较成熟的，AI不至于幻觉，胡说八道。。。。怀疑高老师看的教材存在问题。

我注意高老师的观点，有一个原因是：在湍流基础理论中，随机过程概念很重要。特别是湍流扩散/大气扩散问题中，一个“标记”流体微团在湍流中的运动规律，和湍流扩散有直接关系。。。。

蒋老师，您没有理解我的文章观点。
我引用的教材和DeepSeek介绍没有任何不同，均在布朗运动定义中给出了如下两个重要性质：
（1）X(t)服从均值为零的正态分布，即X(t)的数学期望E[X(t)]=0；
（2）X(t)是t的连续函数。
请注意，我是说这两个性质相互矛盾，不能自洽。
证明（逻辑检验）：
性质（1）中的X(t)为随机变量，数学期望E[X(t)]=0；
性质（2）中的X(t)为时间函数，数学期望E[X(t)]=X(t)；
显然，”随机变量“与”时间函数“相互矛盾，E[X(t)]=0与E[X(t)]=X(t)相互矛盾
因此，性质（1）和性质（2）不能自洽。

请等待系统审核

回复@高宏：请注意：DeepSeek说的布朗运动，写的是E[W(t1)]=0, E[W(t2)]=0... E[W(tn)]=0...不是E[W(t1)]=W(t1), E[W(t2)]=W(t2)......E[W(tn)]=W(tn)...

我只是请DeepSeek介绍随机过程中的布朗运动，我自己没有做任何提示。而且这个内容应当比较成熟，所以它不大可能在幻觉，胡说八道。

但我没有看过含讨论随机过程中布朗运动的教材，所以觉得很奇怪。高老师博文的意思是清楚的：文中f(t)，或X(t)，是“时间函数”。高老师因此认为是确定的函数，不是随机的了，所以E[X(t)]=X(t)。我怀疑这个说法，所以希望高老师说一下，你说的《随机过程》教材，是哪一本，我也想读读。

我以前说过有一本书《随机过程和湍流》，里面没有布朗运动。但不仅有随机函数，更有随机场：湍流运动中，按欧拉坐标系统，空间任何一点处的流速都是坐标和时间的函数，连续可导，而且随机变化。不能以解析形式写出来的。不仅数学期望（相当于平均，一阶相关），而且方差(二阶相关）。。。高阶相关，都可以研究讨论。。。虽然仍然是研究的大难题，却没有不“自洽”或“他洽”的问题。但说到布朗运动，是个特例。所以想比较一下DeepSeek说的和高老师教材中说的，以便澄清疑问。

回复@蒋大和：（1）GregoryF.Lawler《随机过程导论》，张景肖 译，机械工业出版社；
（2）林元列，《应用随机过程》，清华大学出版社。
两本书在布朗运动定义中明确给出布朗粒子在t时刻的位移“X(t)是t的连续函数”性质。
若X(t)是t的连续函数，X(t)就是时间函数，则E[X(t)]=X(t)

回复@蒋大和：在《随机过程》布朗运动定义中，X(t)既是“随机变量”，也是“t的连续函数”。
（1）用“随机变量”，和“时间函数（t的连续函数）”两个不同数学概念描述X(t)，这已违反矛盾律，如同描述一个图形既“方”又“圆”一样，在逻辑上不能自洽；
（2）随机变量X(t)和时间函数X(t)的数学符号虽然相同，但它们的数学期望E[X(t)]是不同的，这就进一步暴露出了逻辑矛盾