关于“波利亚随机游走定理”有严格的数学证明，这在网上可以查到，例如：https://zhuanlan.zhihu.com/p/444248487。
而且，“从原点出发的醉汉一定能回到起点”可以通过仿真（蒙特卡罗模拟）演示出来的。

（1）您说的严格证明是：
从前提（随机游走定义）推出结论（波利亚随机游走定理）。
（2）我的证明是：
从前提（波利亚随机游走定理）推出结论：D[S(n)] =0。
从前提（随机游走定义）推出结论：D[S(n)]= n≠0。
因此波利亚随机游走定理与随机游走定义相悖，不能成立。
（3）随机游走实验演示装置是高尔顿板（Galton Board），见：
实验检验方法检验《随机过程》随机游走理论的客观真理性
https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1367417.html
（4）蒙特卡罗模拟实验以概率模型为基础，检验的是随机变量，不是样本函数。皮尔逊的随机游走问题是指样本函数，波利亚证明的是随机变量的常返性，因此就出现了违反同一律的逻辑错误，因此导致波利亚随机游走定理和随机游走定义在同一时刻（回到原点时刻）的方差相悖。

（1）根据随机游走定义，S(n)是服从（0，n）正态分布的随机变量；
（2）常返性P[S(n)=0，i.o.]=1中的S(n)=0等式明显存在违反同一律的逻辑错误：
随机变量= 0（常数）
随机变量S(n)在第n步有多个或无穷多个取值，常数在第n步只有一个取值。
（3）如果随机变量S(n)的状态在原点0，则应该表示为：
S(n)=[0,0,…,0]

（1）从随机游走定义给出的方差D[S(n)]= n可以看出，随着步数n的增加，随机游走在远离原点；
（2）随机游走是一种典型的马尔可夫过程，具有“无后效性”或“无记忆性”，即随机游走“未来”的状态与“过去”的状态无关。
波利亚随机游走定理却说“从原点出发的随机游走返回原点无穷多次的概率为1”，这表明随机游走的“将来”与“过去”有关, 随机游走“有记忆性”，与马尔可夫过程的“无后效性”和“无记忆性”自相矛盾