窦老师好。点赞窦老师坚持不懈的湍流研究和科普工作。
我又有个疑问和建议：
湍流的发生是个物理过程，然而NS方程却是个数学公式（还在讨论其正确性）。以数学公式存在奇点作为发生湍流的“物理机理”的说法恐难被接受，建议窦老师再想想别的解释。
例如，我还没有想清楚粘性在湍流发生发展过程中的作用究竟是怎样的。以往接受的是在粘性流动中，NS中的非线性项（对流项）有利流动的不稳定、产生和发展湍流；粘性项则使流动趋于稳定。也接受雷诺数（Re=非线性项/粘性项）的应用。
但仔细想想，粘性在湍流的发生发展中其实起了不可缺少的作用。例如，在本文图1列出的a-d和h流动中都涉及壁面，那里有壁面和流体的摩擦（粘性），有剪切应力；同时在流动中间部分，因为各层流体流速差别大也会有剪切应力（粘性）。这两头的剪切应力方向是相反的，是产生涡旋的物理原因。但是涡旋的产生和发展也很复杂，可能被粘性损耗而消亡，但也可能因为剪切应力的增强而发展成湍流发生的前因。流动加速、粘性和涡旋，是讨论湍流过程的物理机理。
所以湍流可以因为粘性而发生，也可以因为粘性而消亡。
在层流向湍流的转捩过程中，如平面泊肃叶流，初始时壁面附近应力较大。随着平均流速加强，雷诺数也增强，中间部分流动剪应力加强。如果能够讨论流场发展时，剪切力分布的变化，就有可能发现旋涡的发生过程和分布。旋涡中心也可能和NS方程的奇点有关。
窦老师说在奇点那里，u=0。但如果考虑旋涡，流速可以相对于平均运动反向运动的，这个情况是否考虑在内了？
图1中e和f，射流和尾流（少画了流线），没有壁面，但因为流速不同引起剪切应力也是明显的。
图g说是“混合层”，没看懂。

蒋老师好。感谢蒋老师对湍流的兴趣和欣赏蒋老师对学问的一直追求。

我们观察层流到湍流的速度、压力、摩擦力、总的阻力突变，除了奇点能对这种突变做出合理的解释，还没有发现其他方法。当然，说奇点不是随便说的，我们是通过纳维-斯托克斯方程严格推导出来的。

关于粘性在湍流发生发展过程中的作用，粘性项一方面使流动趋于稳定，另一方面与对流项互相作用，导致奇点产生。没有粘性，奇点就产生不了，湍流就没有。我在多篇科普文章中说了，教科书和文献中说的“湍流是由于对流项大于粘性项的作用而产生的”是完全错误的，不符合事实。这是对湍流问题太简单化了。

“剪切应力的增强而发展成湍流发生的前因”，这句话是不正确的。如果它成立，是需要很多前提条件的。我想说的是，平面Couette流动和Taylor-Couette流动，湍流产生的原因是流道中间剪切应力减小而趋于零引起的，这是事实。

蒋老师说的“湍流可以因为粘性而发生，也可以因为粘性而消亡”，这句话是基本正确的，但也有前提条件，那就是湍流产生是在对流项足够大的情况下。

蒋老师说“如果能够讨论流场发展时，剪切力分布的变化，就有可能发现旋涡的发生过程和分布。旋涡中心也可能和NS方程的奇点有关”。是的，基本是这样的，本人的书第9章有讲了这部分。

“窦老师说在奇点那里，u=0。但如果考虑旋涡，流速可以相对于平均运动反向运动的，这个情况是否考虑在内了？” 是的蒋老师，已经考虑了。在非定常流动里，流速可以相对于平均运动反向运动，这是湍流产生必须有的。

“图g说是“混合层”，没看懂。”就是自由剪切层，开尔文-亥姆霍兹不稳定性的模型。图g中画的是计算时的初始流动条件。

回复@窦华书：我觉得通过NS方程严格推导的也只能是数学推导，物理机理还需要分析讨论流动加速过程中粘性作用、剪切力变化，和涡旋（湍流丝、斑等）的发生发展等。
雷诺数有局限性，使用“长度尺度”和“速度尺度”本身就指流动的宏观过程，特别是没有考虑粘性在湍流发生中的作用。但强调对流项的作用不能说是完全错误。
平面Couette流动中，图1c，流道中间部分剪切力小是因为上下两部分流动反对称的特点造成。在流道流动整体加强时，那里剪切力可能仍然很小，但也在加强不会趋于零的。