张老师，因为以前我研究过berry相，所以可以提一点我自己的看法，当然对于您的情况不一定对，属于个人见解。

berry相是一种非平凡的几何效果，不存在一个非奇异的规范变换将其消除掉。您上面的最后一个公式把非平凡基变换到平凡基，那本质上有点像一个规范变换，变换矩阵是一个奇异矩阵。换句话就是说，奇异性仍旧隐藏在变换矩阵之中。这也就是说，您所得到的模型可能导致非平庸的纽结被隐藏。举个数学例子，一个二维球面上不可能有一个整体坐标系，但它可以被剖分为两个部分，两个部分都没有奇异性（具有整体坐标系），但是这两个部分是被一个非奇异的规范变换联系的。换句话说，对球面做开覆盖的时候，奇异性被隐藏，杨振宁先生1975PRD那篇文章的例子属于这种情形。
同样的推理用到您的情形，如果您是通过降维办法试图打开扭结（我从您的公式猜测，但不知是不是这个思路？）。那么降维比作一个规范变换，扭结的奇异性将隐藏在降维这个变换矩阵中，因此模型本身就变得平凡了。如果这个推理正确的话，那么就一定存在下面这种情形：您的模型在一些极限（比如热力学极限）或者微分的情形（那里存在奇点，且源于被隐藏的扭结），导致难以判定的奇异性。
如果真的发生这种情况，就可能暗示您在做假设的时候，人为避开奇异性，但实际上由于奇异性的存在，得到的解没有反映真实模型的内容。

非常感谢你的讨论，你的问题是目前为止我遇到的最深刻的问题，也是最接近问题核心的问题。我简单回复如下，有不正确的地方还请你指正。从我的证明猜想的论文中可以看出：一）我先升维，后降维。二）确实将球面进行了切割，切割成许许多多部分。三）进行了规范变换。奇异性确实被影藏了，或者说被转移了。系统原来的结构是（一个具有非平庸的纽结的转移矩阵+一个平庸的本征矢量流形）被转变成一个新的结构（一个平庸的转移矩阵+一个非平庸的本征矢量流形），非平庸的拓扑结构从转移矩阵中转移到本征矢量流形中，奇异性仍然存在于系统中。但是，我认为我的解是正确的，整个求解过程是一个个等式构成的。只有通过规范变换才能求出精确解。

在三维框架内，这些奇异性可能确实还存在，这导致在无限大温度和绝对零度下的奇异性，三维空间高温展开和低温展开的失效。
另外一方面，我已经将系统拓展为3+1维，在3+1维度框架内，整体上这些奇异性实际上自动消失（拓扑学定理：4维空间没有纽结）。

回复@张志东：谢谢您的进一步解释。其实我这样的“挑刺”远比细致的做工作容易，所以还请不要介怀。另外，我上面有句话有笔误：“两个部分是被一个非奇异的规范变换联系”，这里应该是奇异规范变换，而不是“非奇异”。
经过您的解释，我大概明白一点您的思路了。您的想法是否是这样：从3维增加到4维打开扭结，得到平凡的基底，然后进行某种操作A，然后再降维（规范变换）到3维。
根据我对代数学的了解，您从3维到4维打开扭结得到平凡基底，这应该是想进行某种“对角化”，从而简化问题，得到解。因为平凡的基底，往往对应于某种对角化的矩阵体系。之后再降维到3维进行的规范变换，可能隐藏了扭结的奇异性。
如果是这样，有一个问题，您需要检查。在使用对角化的平凡基底的过程中，一定要考虑到奇异的规范变换所带来的奇异边界条件。因为在非平庸的空间中选择平凡基底，不可避免的只能在局部空间中进行。昨天我提到的二维球面的平凡基底分别位于球面的两个平凡剖分，但是这两个平凡基底被一个奇异的规范变换所联系，如果只考虑一个剖分，它当然是平凡基底，但是如果想把这个剖分解析沿拓到整个球面必定遭遇奇异性。
将上面的推理用到您的模型的情形，我很怀疑您可能求得了一个“局部解”，而不是“全局解”。因为您似乎很依赖选择的某个平凡基底，而这对非平庸空间来说，只能在局部才能成立。而您提到的低温和高温展开，是否就涉及到“解析沿拓”了，如果是这样的话，局部平凡基底进行解析沿拓碰触奇异性将不可避免。
因此，我感觉您是否可以检查您的解是否为“局部解”，而同行们希望得到的是“全局解”，把这一点阐述清楚，可能对于同行们接纳您的理论会更好。

因为我是数学出身，而数学的一大特点就是反复挑刺，不过我没有看过您的模型，所以可能显得外行，希望不要介意。

回复@陶勇：非常感谢你的讨论！你的讨论对我深入理解这个问题以及了解一个数学家如何看待这个问题具有很大的帮助。我的求解过程与你理解的差不多，但有一些小的差别。我是先将系统升为3+1维并证明3+1维的解和3维的解是一致的；然后将系统剖分为许多准2维体系，同时证明解没有变化；再对准2维体系进一步剖分，剖分成许多子空间；最后再做规范变换，打开扭结。系统停留在3+1维，不需要降低到3维，因为整个过程的解不变，3+1维的解就是3维的解。
你说的奇异性边界条件确实很重要，但是求解模型的精确解是在热力学极限条件下，这时候任何边界条件都可以被忽略。
另外，我求得的解确实是局部的解，但是我是从所有局部解中选择了最大本征值，在热力学极限条件下，最大本征值对物理性质起决定性作用。所以说，我的局域解实际上是全局性的解。
再次感谢你的讨论，还请进一步指教。

回复@陶勇：我再补充两点：在热力学极限条件下，边界项和体项之比趋近于0；最大本征值在热力学极限条件下的决定性作用是昂萨格的工作所确认的。

回复@张志东：确认一件事“3+1维的解就是3维的解”。
难道您模型中的1（维）是指温度的倒数1/T所对应的松原时间？这样的话，3+1和3确实是一致的。但不知道是不是？

回复@陶勇：几年前在我的一片论文中，我曾经根据温度和时间的对偶关系提出，在三维伊辛模型中增加的一维就是时间维，对应于温度的倒数。而且在文章中强调，不是简单的将e指数上的温度倒数替代成时间，需要将原来的三重积分变成四重积分，增加的这个维度就是时间。详细见我的博文“追梦之旅-14-温时对偶”：http://blog.sciencenet.cn/blog-2344-645455.html。

回复@陶勇：在我的证明猜想的新论文中，我是通过对转移矩阵增加单位矩阵的直乘，同时消除一个因子，来显示增加一维不改变转移矩阵的迹，从而证明了3+1维的解与3维的解是一致的，这也充分说明了增加的一维就是松原时间。非常感谢你的讨论！

回复@陶勇：请问，你提到的在松原时间条件下，3+1维和3维解是一致的，这个结论的原始文献是什么？非常感谢！

回复@张志东：一般的量子场论会提到3维统计力学等价于3+1维量子场论。碰巧我恰好是研究量子临界现象的，所以比较熟悉这个。我的一个工作就是发现，平衡态系统会自发出现虚时间it，它以温度的倒数1/T为定义域。特别的，在绝对零度T=0时，虚时间it导致相对论场论。我最近恰好有篇论文：https://www.researchgate.net/publication/331487523_Parabolic_scaling_in_overdoped_cuprate_films
这是初稿，稍后的发表版有较大改动。

回复@张志东：如果是松原时间作为第四维，那么我开始理解您的思想了。您应该是想借助第四维打开扭结，而松原时空的3+1维=欧式3维，所以借此得到一般解。
那么从数学上来讲，我上面提到的整体坐标的问题在您的模型中就很显著了。您上面打开扭结的变换，把非平凡基底变成平凡基底，是在3+1维的子流形或者整体流形中实施的，那么一定会涉及到剖分。不同的剖分的整体拓扑结构将由上同调决定，如果您不仔细考虑奇异边界条件，整体拓扑性质将变得平凡。我猜测您在求解的过程中一定涉及了某种“对角化”，从而得到平凡基底，但是这是局部空间的基底。这种局部空间的基底不能推广到全局空间，强行推广出去，必定遭遇奇异性。而这种奇异性不是真实的物理奇异性，而是由于坐标选取不当造成的。像我之前举的2维球面的例子，它有两个局部坐标系，南极和北极，如果用南极坐标描述北极，就是奇异的。但是这种奇异性是坐标选取不当造成的。
您的模型如果是按照我的推理所描述，那么应该在坐标流形(x,y,z,T)中的某个区域具有奇异性（T表示温度）。按照松原时间it=[0,1/T]的概念的话，流形边界T=0和T=infinity可能就有奇异性。而这种奇异性不是物理的，而是坐标选取不当造成的。
所以我很怀疑您得到了“局部解”。您之后说的本征值对应的局部解的概念可能涉及物理了，这就超出我的能力范围了，因为我没有研究过伊辛模型。我只能从数学的角度分析您的模型的潜在问题。另外补充一点，我说的局部和全局指的是坐标流形区域。

回复@陶勇：非常感谢。我的工作的结果是三维伊辛模型中自发出现时间，与你的结果是相吻合的。

回复@陶勇：感谢你的指教，关于奇异性边界条件以及全局和局域坐标的关系，我需要仔细考虑考虑。

回复@陶勇：关于全局坐标和局部坐标问题。在我的论文中没有将局部坐标推广到全局坐标，而是针对每个局部坐标寻找局部解，比较所有局部解，最后选用对物理性质具有绝定性作用的最大本征值。所以我的求解过程并没有产生数学上的奇异性。
关于奇异性问题。在三维伊辛模型中，流形边界T=0和T=infinity确实存在奇异性，但这是物理系统本身的奇异性。无穷大温度出现的奇异性是一个物理的奇异性，因为它满足李杨相变理论的相变条件。另外，从对偶关系，绝对零度也同样应该出现一个物理上的奇异性，这也与热力学第三定律吻合。

回复@陶勇：关于对角化问题。在做拓扑变换的时候，矩阵没有被完全对角化，还需要进一步利用昂萨格的方法做完全的对角化。

回复@张志东：谢谢您的进一步解释。我的推理仅仅是从我知道的一点数学知识的角度出发，只属于个人见解，不一定就是您的模型的真实反映。所以我的建议只是一种可能的思维建议，请不要介意。
我觉得要继续讨论您的模型的话，可能就需要仔细阅读您的论文才行了，因为您说的昂萨格方法我完全不了解。

回复@陶勇：非常感谢你的讨论，这对我深入理解问题很有帮助。也欢迎你有空看看我的论文，批评指正。

回复@张志东：另外，从您的回复来看，我就有如下直觉：
您说的昂萨格对角化，应该可能暗示了某种可以做局部平凡基底。但是二维空间并没有非平凡的扭结问题，所以不存在奇异边界，因此当找到一个平凡基底的时候（对角化？），得到的局部解就是全局解（可以直接解析沿拓）。换句话说，二维伊辛模型问题从同调的角度来看，是平凡的（当然，如果二维空间存在“洞”就不同了。）
从您在三维一直努力的想打开扭结来看，我感觉三维与二维完全不同，三维是非平凡的。所以二维昂萨格方法完全不能推广到三维，这从同调的角度就完全否定了。
另外，您有没有想过一个可能，您在做剖分的时候，没有考虑奇异边界问题（上同调）。本质上就是把昂萨格的不同二维解链接起来了，实质上仍旧是二维解？当然，这完全就是我胡乱猜了，只供您参考用。

挑刺远远比实际做研究简单，我深深了解这一点，所以您就当外行来看我就行了。

回复@陶勇：你说的对，三维伊辛模型与二维伊辛模型不一样，三维伊辛模型存在非平庸扭结结构，所以无法直接应用昂萨格的对角化求解方法。我的方法是通过升到3+1维以及局域变换，打开扭结后，将非平庸的基变成平庸的基，再应用昂萨格的对角化方法求解。获得的解的形式具有二维伊辛模型解的特征，但是是通过一系列的拓扑相因子串接起来。非平庸的扭结的信息实际上是和拓扑相因子关联。你说的奇异性边界条件的信息可能也反映在拓扑相因子中。