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图说幂法求特征值和特征向量

已有 14333 次阅读 2017-2-11 21:38 |个人分类:数学|系统分类:教学心得| 线性代数, 特征值, 奇异值

     幂法是一种计算矩阵主特征值及对应特征向量的迭代方法。

     原理很简单:矩阵乘任一向量(非特征向量),可将向量往主特征向量的方向“拉扯”。


如图中坐标原点是两条粗蓝线的交点,红色的向量是[1, - 0.8]’


   矩阵A=[1.1 , 0.3 ;  1.8, 1.4 ] 作用在空间上,使得空间伸缩旋转,相对于上图,本图中红色的向量也跟着转了,A*x=[0.86,0.68]’ ,不过在新的变换后的坐标系下,仔细看值还是[1, -0.8]’


再用A,A*A*x=A2x,空间及红色的向量进一步扭转。


再在原坐标系下看,多次变换后,即An次方后,红色的向量会趋近于主特征向量方向。


   A的特征向量是图中的绿线。上图的红色向量经过nA乘后,就很接近长的绿色的特征向量了。

从代数上来讲,也很容易得出此结论,(因λ1>λ2,λ1n次方>>λ2n次方),此处略。

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再用图示补充一下空间变换、特征值、特征向量的概念,如图(先不考虑红色的向量)


单位圆上的向量(黑色点表示),


   经A变换后,或者说都被A乘后,就变成绿色的向量()


图中绿色的线是A的特征向量[-1,2]’, [1,3]’。在特征向量的方向上的向量,如粗黑色的向量[-0.3162 -0.9487]’,经A乘后,如下图:



   粗黑色的向量,变成蓝色的向量,方向还在特征向量的方向是,只是长度乘了“特征值”2,(这里A的特征值是20.5)。




注意,A使得圆变成了椭圆,就是对空间的“线性”变换的结果。图是二维的,正好有两个特征方向上的向量只伸缩,即Ax=λx


颜色一致的方向是特征向量方向。

(2017.12.12绘此图)


(本讲结束,可以不往下看了。)

   看图发现没有?特征向量并没在椭圆的轴上,看下图中轴向上黄色的两个向量,那么椭圆轴上是什么?问题来了,顺便我把这个矩阵A=[1.1 , 0.3 ;  1.8, 1.4 ]有关的向量都画出来,(看着不晕吧!画的有点乱,但都和A有关系)



  因为是“图说”,只简单说明一下图,图上方网格是原来的空间,斜网格是A变换后的空间(为什么叫线性变换、线性代数,网络线还是直的,没弯曲)。按图中标号,黑色12A的列向量,组成新空间的基向量,也可以看作是由原来的两个单位基向量[10]’[01]’变换得到。红色的3是前面讲的任一向量,经A乘后变为红色的向量4如前所述,绿色的56A的特征向量,蓝色的7是前面讲的特征向量方向上一向量(黑色被覆盖)伸长λ后的向量。  黄色的89正在椭圆轴上,它们是矩阵A的左奇异向量u。也画出紫色的1011,是A的右奇异向量v,矩阵的奇异值分解,和特征值特征向量一样都是很重要,应用很广泛的内容。

图中用到下列数据:    

A=[1.1 0.3 ; 1.8 1.4 ]

特征向量C=[-1 1; 2 3],C=[-0.4472 -0.3162; 0.8944 -0.9487]

特征值D=[0.5 0; 0  2]

奇异值s =[ 2.5184 0;   0   0.3971]

奇异向量u =[  -0.4298 -0.9029;  -0.9029 0.4298]

v =[  -0.8331 -0.5531;  -0.5531 0.8331]

下面再换点颜色绘图









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