Zmn-1020-2 薛问天 : 全篇错误的文章。评李鸿仪先生的《1015-自然数集合的非唯一性》(下)

【编者按。下面是薛问天先生的评论文章。是对李鸿仪先生的 《1015》的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意 见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

全篇错误的文章。评李鸿仪先生的

《1015-自然数集合的非唯一性》(下)

薛问天 

xuewentian2006@sina.cn

(续前)

5，由于【自然数集合不是唯一的】是错误的定理，所以由它推出的所有应用都是错误的。我们来具体分析。

5.1，关于伽利略悖论。

伽利略早在近400年前，就发現了自然数集同偶数集可以建立一一对应。由于有限集不能同其真子集一一对应，所从早期人们把此认为是伽利略悖论。但是当集合论中知道无穷集可以同它的真子集一一对应，知道这是无穷集区别于有限集的一个特性时，就已证明伽利略悖论不是悖论，是揭露了无穷集的一个重要特性。

所以说李先生所说的【彻底消解伽利略悖论】，完全是没有必要地多此一举，而且他的解释又是完全错误的。他的错误就在于他认为同自然数集N一一对应的偶数集A1不是N的真子集。他说【A1不可能是N的真子集。这就是问题的症结所在，】其实偶数集A1怎么可能不是N的真子集呢？A1中所有的元素即偶数当然都是自然数，因而A1当然是N的子集。而N中的奇数都不含在A1中，所以A1当然是N的真子集，李先生怎么连这么明显的逻辑推出的事实都不承认。硬坚持他错误的武断【N的真子集的元素数目一定比N的少】，同N的元素数目相同就错误地认为不是真子集，连无穷集合的基本事实都不顾。李先生错就错在这里，错在对无穷集合的元素数目的错误要求上。

李先生的错误根源在于他是拿有限集的情形来说事，例如他说【集合N与E之间也不存在一一对应关系:集合E只能与集合N中的一半元素形成一个单射，由于集合N中的另一半元素在集合E中找不到原像，所以这个单射不是满射，】如果N是有限集，和它的真子集E自然不可能建立双射的一一对应。但是对于无穷集就完全可能建立双射，即既是单射又是满射的一一对应关系。

5.2，关于有理数集合Q与自然数集合N之间的一一对应关系，

由于Q和N之间可以建立一一对应关系。如果把一一对应基数相等就认为是元素数目相等，自然认为它们作为无穷集合，元素数目是相等的。当然人人皆知N是Q的真子集，这是无穷集同它的真子集一一对应，元素数目相等的典型案例。

这对于我们熟悉集合论中无穷集合性质的人来说，把一一对应的两个集合看作是具有完全相等的元素数目的集合，这显然是一点矛盾都没有。一点都不【令人费解】和【违反直觉】。凡是有这种错误反常感觉的人，就应很快熟悉无穷集合的这一属性，积累自己的经验，提高对无穷集合的认识水平。

那种认为【与有理数集Q一一对应的自然数集不是Q的真子集，而是另一个自然数集合N2。】的观点是完全错误的，N和N2包含着同样的元素，外延完全相同，是同一个集合。李先生你能举出N同N2含有哪个不同的元素吗，举不出来就必须承认它们是同一个集合。

要知道局部和整体是两不同的概念，当然局部不等于整体。同样无穷集合同它的真子集显然也不是一个集合，不能认为它们是相等的同一集合。但是不同的无穷集合却可以一一对应，元素数目相等。因而由无穷集合同它的真子集元素数目相等完全得不出【局部等于整体】的结论。‘

5.3，关于不同长度线段之间和不同维度空间之间的一一对应。

在数学中可以用坐标同某数相乘的双射来证明不同长度线段之间有一一对应关系。在一维坐标线上，显然区间A=[0，a]同区间B=[0，b]，b=ka所表示的是两个不同长度的线段。但是用双射y=kx，就可建立A中的点同B中的点的一一对应关系。

在数学上，可以用坐标数的分解来证明一维空间同二维空间之间有一一对应关系。所谓坐标数的分解，就是指一维空间的坐标，任何实数，即无穷小数都可以同用它的偶数位和奇数位分别构成的两个无穷小数组成的二维坐标，形成双射，从而建立了一维空间同二维空间的一一对应关系。这在数学上是毫无问题的，完全正确。

李先生的错误就在于他用有限集的方法来处理无限集的元素数目，所以就出现了严重的错误。

如果假定A=[0，a]同区间B=[0，b]，中点的个数是有限数，则B的点数是A的点数的k倍，自然不能一一对应。但对无穷集，若A的元素数目是∞，B的元素数目k∞它并不大于∞而是等于∞，因为一一对应，所以元素数目是相等的。这就是无穷集合的特性不同于有穷集。是的，这一点错误都没有。对于无穷的点集，不同长度的线段上的点集，不同半经的同心園的周长上的点集，完全都可以一一对应，【不仅不同长度的点可以一一对应，而且有限长度的点也可以一一对应到无限长度，据此，如果有不止一个宇宙，那么一个纳米上的点就与跨越几个宇宙的直线上的点一样多！】这就是数学的高度抽象性和应用的广泛性。

如果我们研究的是有限的一维空间和二维空间。一位空间有n个点，则二位空间是nXn=n^2个点，个数当然不同，不能建立一一对应。但是对于由无限个点的实数构成的一维和二维空间，由于它们是无穷集，可以严格证明它们之间存在双射，所以可以建立一一对应，元素数目相等。

对于二进制有穷位例如2n位小数，当然它形成的2n位小数的个数是 2^(2n)个，同n位小数的个数2^n个当然不等。但是对于无穷位小数，如果它的位数是∞。则由偶数位或奇数位形成的无穷小数，它的位数並不是什么不等于∞的∞/2，它的位数仍然是∞。而且它们形成的小数集合的元素数目並不是什么2^∞，更不是2^(∞/2)。全可一一对应，全相等，统统是超穷基数【连续统】。这就是无穷集同有穷集的不同。

李先生最后得出如下结论，说【当无限小数的小数位数相同时，不同维空间之间不存在一一对应关系，不同长度段之间也不存在一一对应关系。】无限小数的小数位数当然相同，认为【不同维空间之间不存在一一对应关系，不同长度段之间也不存在一一对应关系。】显然与事实不符，是完全错误的。

5.4，关于康托尔对实数不可数的证明。

康托尔用对角线法证明了实数不可数，从而证明了存在不可数的集合。对此重要的证明，李先生提出质疑，但他的质疑全是错误，我们来逐段分析他的主要逻辑错误。

(1)李说【如果我们根本不知道可数集合和不可数集合的存在，就没有理由认为存在的东西不能一一列举。所以，如果我们有无限个无限小数，当然可以一一列举。】

可数集合的存在我们当然是知道的。自然数集合本身就是可数的集合。在确认康托尔对实数不可数的证明前，只能说我们还不知道存在不可数集合。

李先生的逻辑竟然混到如此程度。不知道存在不可数集合。难道就认为知道了所有集合都是可数的了吗？就认为可以理直气壮地认为【任何无穷集都是可数的】！

要知道【没有理由认为存在不可数集合】同时也【没有理由认为不存在不可数集合】，也就是说你并不知道，也没有理由认为【任何无穷集都是可数的】。怎么连运点逻辑都不懂，竟然白纸黑字乱写胡话！

公然理直气壮地把实数，即这无限个无限小数，一一列举出来，还说【下标集合只能是自然数集合。】

李先生到现在都还未看懂，把实数列成序列是根据反证法的【实数可数】的假定列出的。

(2)对于这实数即无穷小数序列，李先生说【以二进制小数为例，在有限的情况下，小数个数m等于2^n，这里，n是小数位数，】这没有问题。但李先生接着说【在无限的情况下，小数位数和小数个数都可以表示为自然数集合，分别用N和N3表示。根据定理1，我们可以得到∞N3=2^(∞N)，这意味着

N ≠ N3   (2) 】就错了。

李先生错就错在他不知道这个实数序列是根据【实数可数】的假定列出的。可数就是同自然数一一对应，那标号集合当然是自然数N了。

在没有此假定的条件下，说无穷小数可以排成序列，说标号集合是自然数集合就是严重错误。

另外，根据有限n位小数的个数等于2^n，就来用极限推算无穷位小数个数，这个方法本身就是错误的。李先生你凭什么说这个极限就是无穷位数集合的元素数目。

更何况，在极限理论中当n→∞时，2^n→∞，并没有2^n的极限是2^∞这种理论。这纯粹是李先生的主观臆想，不是数学。                             

李先还在一开始就说什么【在有限和无限两种情况下，小数个数总是远大于小数位数，】因为小数位数就是同自然数集合一一对应，似乎他早已知道无穷小数的个数大于自然数的个数。这显然是错的，要知道康托尔证明的就是实数不可数。如果早已知道实数的个数同自然数集合不一一对应，不可数，那还在这里证明什么？

(3)，李先生认为证明推导中引入了另一个错误的假设，即N3=N，【∞N3=∞N的错误假设】。这显然是错误的。因为实数排成序列就是根据【实数可数】这一个假设来的。根据这个假设实数同自然数N一一对应，当然此行标集合N3就是N，即N3=N这并不需要另外的假设。说【引入了另一假设】显然是错误的。当然，如果李先生在这里还要用他的【自然数集合不唯一】的错误论断来推论，则更是错上加错。

由于N3=N，李先生也承认据此康托尔证明的矛盾是存在的。所以李先生用N3≠N所推论的【矛盾不再存在】就毫无意义。说【(1)实际上并不引起任何矛盾】。甚至还由此得出结论【(1)直接证明了：实数是可数的。】则更是错了又错。要知道正是由于肯定了矛盾的存在，推翻了【实数可数】的假定，证明了实数不可数。而李先生却在这里说矛盾不存在，证明了实数可数。可见错误之严重。

(4)，李先生用他的【自然数集合不唯一】的错误论断来推论，当然都是错的。更何况他说的很多集合并不是【自然数集合】。

例如李说【N的幂集P(N)可以对应二进制小数，因此P(N)对应自然数集合N3。】这是完全错误的。在康托尔的证明中，是由于有反证法的错误假定，实数集合才同N3=N这个自然数集合一一对应。在没有这个假定下，P(N)是N的所有子集的集合，是实数集合，怎么能说【P(N)对应自然数集合N3】呢？

李先生说【只要承认有不同的自然数集合，无论是对角线论证还是康托定理都没有证明实数是不可数的。】要知道这恰恰是李先生错了，正因为自然数集合是唯一确定的，从而对角线证法和康托尔定理都证明了实数不可数。

(5)，李先生说道，关于康托尔最初用闭区间套证明实数不可数，同样用反证法。首先假设实数是可数，将实数一一列出。任何实数可标注为ai。然后找到一个实数θ，使对任何自然数i，θ≠ai  (5)  。                       

李先生认为用此法证明不了实数不可数。他给出的理由是康托尔将给出的是设法使(5)式成立的实数θ的区间套，I1⊂I2 ⊂I3 ⊂…     （6）

李先生说【这里也有两个不同的自然数集合:除了与小数一一对应的N3集合[见(1)]外，还有一个由(6)中的下标组成自然数集合，用N4表示。很明显，只有在下列情况下,(5)才成立，∞N3<=∞N4    (7)】

李先生认为【康托尔没有证明(7)，所以该方法也没有证明实数是不可数的。】

这明显是在狡辩。因为反证法假定实数可数，实数是同自然数集N一一对应，所从N3就是N。而区间套是区间无穷序列，也是同自然数集N一一对应，所以N4也是N，因而当然有N3=N4，是同一个集合。怎么能说ai中有的自然数i，竟然在Ii中沒有这个自然数i，实在是荒唐之极。由于N3=N4=N，所以矛盾存在，完全证明了实数不可数。

(6)，李先生在错误的【自然数集合不唯一】的基础上，所证明的

【定理7不存在不可数集合】是完全错误的。

可以明显地指出李先生错就错在他所叙述的这段【证明】上。他说【证明:任何无限集合中的每一个元素都是互不相同的，因此，这些元素中的每一个都可以有一个递增的数字下标，并且这些下标可以形成一个自然数集合。】

错就错在他认为【这些元素中的每一个都可以有一个递增的数字下标，并且这些下标可以形成一个自然数集合。】要知道列下标不是随便列的，要有一定的次序和方法，当对无穷集合采用一种方法列下标时，当把所有的自然数都用完了以后，如果无穷集合中还有未列下标的元素该如何继续列下标？李先生，你能回答吗？

例如，你可以从1开始，对实数中的自然数先列下标，当你把自然数全列完时，作为列标的自然数全用完了，请问对其它实数你还怎么继续列标？

所以说列下标的次序和方法很重要。例如你可以这样作，按0,1,-1,2,-2,......。用这样的方法可以把所有的正负整数全列上下标，但当把你把正负整数全列完时，作为列标的自然数全用完了，请问对其它实数你还怎么继续列标？

再例如你可用那种证明有理数可数的方法对实数中所有的有理数来列标，但当你把实数中的所有有理数列完后，全部的自然数作为列标全用完了，请问李先生你还能继续对无理数进行列标吗？

请问李先生你能找到一种方法刚好用完自然数，把实数完全列上下标吗？而保证不是只列了实数的一个真子集，就把自然数用完了，其它的实数无法继续再列下去。

李先生，在你提不出这种方法而说，对任何无穷集合【元素中的每一个都可以有一个递增的数字下标，并且这些下标可以形成一个自然数集合。】就是毫无根据的错误论断。

能提出这种方法就证明了此无穷集合是可数的。当证明了此无穷集合是不可数的，就找不到这种方法。康托尔已证明实数是不可数的。所以这就断定对实数集合，李先生你不可能找到这样的列下标的方法。

(7)，从李先生对康托尔定理的叙述可以看出他对康托尔定理的理解完全是错误的。他说【康托定理的证明表明，存在互不一一对应的无限集合，因此必然存在互不一一对应的下标自然数集合，】错了，康托定理的证明表明，在反证法的【可数】的错误假定下存在矛盾，所以证明了【不可数】。这个【不可数】指的是实数集合同自然数集合互不一一对应，指的是P(N)同N互不一一对应。不是【下标自然数集合】互不一一对应。要知道在【可数】的假定下，这些下标集合都是自然数集合，是唯一确定的集合。自然数集合自己同自己怎么会是【互不一一对应】。

(8)，在这段最后李先生又重复地说了不少错话。

李说【有理数集合Q与自然数集合N2一一对应(N2不是集合Q中包含的自然数集合)，】

李先生，你说同Q一一对应的自然数集合N2，不是Q包含的自然数集合N。你能说出N2同N含有哪个不同的元素吗？说不出来就必须承认N2同N是同一个集合。

李说【实数集合R与自然数集合N3一一对应[见(1)].】

要知道R同N3的一一对应，是在反证法实数可数的错误假定下推出的结论。在没有这个假定的条件下，推不出这个结论。

李说【即使N的幂集的幂集，即P(P(N))甚至更大得多的集合，也能与自然数集合一一对应......】

要知道P(N)及P(P(N))能同N的一一对应，同样是在反证法要推翻的假定P(N)和P(P(N))可数的条件下推出的结论。在没有这个假定的条件下，推不出这个结论。

李说【既然不存在不可数集合，因此，所谓的连续统假说和大基数理论就没有任何意义。】

要知道【不存在不可数集合】是李先生给出的错误结论。康托尔己严格证明实数不可数，P(N)不可数。怎么能说【不存在不可数集合】。李先生也没有完全否定康托尔的定理，勉强承认【存在不能一一对应的无穷集合这一结论】，承认存在不能同自然数集合一一对应的集合，就是承认存在不可数集合。

所以连续统基数和大基数的存在及相关理论研究，有很重大的意义。

不是李先生所说的【数学史走了一个大弯路】，而是李先生本人在认识上正在走着【大弯路】。

6，讨论。

6.1，李先生对他的错误论点作了总结，

(1)，关于无限。

(1.1)【无限的本质不过是永远增长着的有限值，】

评价，通过加1运算确实可使自然数的有限集的元数个数增加。但产生的永远都是有穷集。这个增加过程可以永不终止。这个永不终止的无穷过程产生了无穷多个有穷集合。永不终止的加1运算只是无限的最基本的形成过程，无限还有更高的形成过程如幂集等，幂集可形成更高级的无穷集合。

(1.2)【故不存在固定的无穷数，也不存在建立在固定无穷数基础上的具有不变外延的无穷集。】

评价。此论断错了。这无穷多个有限集的并集N，就是具有不变外延的无穷集。就可把这个无限集合N的元素数目定义为【固定的无穷数】，还可把这个N的幂集P(N)的元素数目定义为更高的【固定的无穷数】。

(2)，关于无限变量。

(2.1)【符号∞的本质就是一个取值任意大、无上界的变量，】

评价。李先生逻辑含混，含意不清，这里说的变量∞的值域是否仅仅只包含可以任意大无上界的有限自然数，还是坚持原定义，无限变量∞是可以取这样的值，它能【大于任意给定自然数n*】。我已指出这样的值在自然数中并不存在，∞的定义是伪定义。

(2.2)【因此可以像普通变量一样对∞进行包括四则运算在内的任何一种数学运算。】

评价。李先生根本就没有定义清楚如何表达不同的递增变量，更没有具体定义递增变量的四则运算。逻辑上是混乱不堪。要知道普通的序列是用通项表达的，序列an.bn就是分别以an.bn为通项的序列。序列的运算是用通项的运算来定义的。序列an加序列bn，就是以cn=an+bn为通项的序列。李先生，请问你的∞={1,2,3,...}，∞+∞是什么？要知道按序列相加得出的{2,4,6,...}根本就不是你的递增变量。李先生，你就没有定义递增变量的运算，还说【可以像普通变量一样对∞进行包括四则运算在内的任何一种数学运算。】这在逻辑上是混乱不堪的！

(3)，【本文同时证明了自然数集合的非唯一性。】

评价。如果集合A的元素都是B的元素，反之，集合B的元素都是A的元素，则A和B是同一个集合。要说明两个集合不同，必须说明其中一个集合中含有另一个集合中不含有的元素。李先生，你能指出两个自然数集合中有不同的元素吗？你根本做不到。指不出来，就必须承认所有自然数集合是同一个集合，是惟一确定的。

(4)，关于元素数目。

李先生认为他【严格定义了任意集合元素数目】。

实际上他已宣告他的定义完全失敗。他说【不可能有固定的无穷数来描述自然数集合的元素数目。】

【本文至少用元素数目这一概念讨论了五个不同的自然数集合:N，N1到N4，它们都可以写成{1，2，3...}，但是元素的数量不同。】

李先生的逻辑就是这么混乱，一方面说他【严格定义】了元素数目。一方面又说【不可能有】固定的无穷数来描述元素数目。接着又说集合N同N1到N4的【元素数量不同】。

实际上还是老问题。问题出在李先生始终不承认在数学上严格证明的无穷集合的这个特性，即无穷集有可能同它的真子集一一对应。因而在认为一一对应就是元素数目相等时，就应承认无穷集可能同它的真子集元素数目相等。而李先生始终坚持他由有限集合带来的错误直觉，始终认为集合同它的真子集元素数目不等。为了解决这个矛盾，他就错误地认为同集合一一对应的真子集合同它的真子集是两个不同的集合。这当然是在乱弹琴，根本不可能，同一个集合，包含的元素完全一样，元素数目也是相同的，而李却硬说元素数目不同不是同一集合。这当然是错误的。你举不出它们含有任何不同的元素，就必须承认它们是同一集合。

N0={0}∪N = {0,1,2,3,...}，同它的真子集N，可以由双射y=x+1建立一一对应。而李硬说同N0建立一一对应关系的集合不是真子集N而是N1，你能说出N1同N含有哪个不同的元素吗？说不出来就必须承认N1同N是同一个集合。

6.2，关于认为无限不能完成的错误无限观。

李先生说【问题的关键在于本文的无限观；无限不可能有终点，即不能完成。】

我认为这是李先生认识错误的一个关键问题之一。认为无限过程永不终止，没有终点，无限的自然数并没有最大数，没有最后形成的那个自然数，这是对的。但是认为所有的永不终止的无限过程都不能完成，认为人们不能从整体上认识，表述和研究无限，则是错误的。事实上很多无限过程都是完成了的。认为人类不能从整体上研究无限，是对人类聪明才智的严重轻視和低估。

永不终止的无限过程不能中途终止，整个过程必须完成，不完成就是中途终止。

首先李先生把无穷过程的可完成性解释成为收歛的无穷序列的极限的存在是错误的。他说【极限的不变性容易被误解为无穷本身的可完成性】。这是不对的。我们所说的无穷过程可完成，并不是指无穷序列有极限。既使是没有极限的无穷序列，我们也认为它是一个存在的，完整的确定的序列。这个序列本身是个元素确定的无穷集合，它的形成过程是可以完成的。序列是无穷序列，每个项后还有项，没有最后项，永不终止。但是我们给定的无穷序列，已经给出，已经定义好，确切地知道它的项是什么，就说明它的形成过程已经全部完成。我们反复说明永不终止的无穷过程，完全可以完成。那种认为【无限不可能有终点，即不能完成。】是完全错误的。

我们反复举了这个实例，当从0点开始运动，肯定要经过0.9,0.99,0.999,......这无穷个点。尽管这无穷个点沒有终点，但经过这无穷个点的无穷过程完全可以完成。你能说【不能完成】吗？当从0开始运动到1，经过这无穷个点的无穷过程不是完全完成了吗。

另外，李先生对极限的理解也是错的。他对于数学分析中的“极限只能无限接近，永远不能达到”的规定，极不理解，甚至认为是错误的。说什么【极限不一定不可达，但无限永远无法完成。】

要知道在数学中说当n→∞时序列an→A，说的就是当n无限增大时，an无限接近于A。绝不是说【n可以达到无穷大∞，序列达到一个第无穷大项a∞，这个无穷大项的值等于A。】也就是说序列不能达到这个不存在的第无穷大项a∞，这个a∞并不存在。

在数学中说当x→a时函数f(x)→A，说的就是当n无限接近于a时，函数的值f(x)无限接近于A。绝不是说当n=a时，函数在f(x)在a点的值f(a)等于A。也就是说极限研究的就是当x≠a时函数f(x)的性质，根本同函数f(x)在a点的值无关，甚至对于在点a处无定义的函数也可以研究相应的极限。f(a)可以存在也可以不存在，存在时可以等于A也可以不等于A，这不是极限研究的问题，是函数连续性的问题。也就是说，在研究极限时，是不讨论x=a时的情况，即x不可达到a的。

另外，对极限说【无限永远无法完成】，也是不对的。我们研究无限序列an的极限，这个无穷序列必须是完整的构造完成的序列，对于尚未完成的序列，它的一部分项是什么都未确定，我们就无法研究它的极限，你怎么能断定它的部分项还未确定的序列的极限是A呢？对于函数也一样，研究函数f(x)在x→a时的极限，你必须在函数在x≠a的定义域这无穷集合的所有点的函数构造完成之后才能讨论。函数尚未完成，怎么能讨论它的极限呢？

无穷序列构造的完成，无限域上的函数构造的完成，是研究它极限的必要条件。说什么【确定性的东西要由不确定性来保证】，这完全是错误的，确定性的极限必须由确定的序列和确定的函数来保证。不确定的序列和不确定的函数就不可能有确定的极限！

李先生说【以上讨论与时间无关】。我认为不要这么说。数学是讨论数量关系的，离不开空间和时间，常常要用同时间的关系来讨论问题，实际上李先生后面说的，就是在用时间来讨论n→∞。李先生说n每零秒增加1，达到极限需要无限长的时间，n每零秒增加1，只要时间大于零，极限即可达到。由此可知【极限不一定不可达，但无限永远无法完成。】

李的错误就在于，极限不可达是因为根本就不存在n=∞的a∞，不是因为不可能有无限长的时间，更不能因为不需要时间，就认为极限可达。另外不能因为序列an=1/n有无穷个项，这个序列的生成过程就不能完成。要知道从坐标1点向坐标0点匀速运动。当到达0点时，经过1/2，1/3，......这无穷个点的无穷过程就完全完成了。不要认为经过无穷个点的永不终止的整个无穷过程不能完成。

关于无穷级数，数学中把无穷级数0.3+0.03+0.003+...的总和定义为它的部分和序列Sn=0.33...3(n位)当n→∞时的极限值是1/3。要知道部分和序列的项是有限小数，无穷的生成过程所生成的无穷多个项，永远是有穷小数，不是无穷小数，不是极限值，不能说它达到了这个无穷小数的极限值，而是说无穷级数的总和定义为部分和序列的极限值。把它说成是部分和序列达到极限是不对的。部分和序列是无穷序列，不会中途中止，生成整个序列的无穷多个有穷小数的生成过程必须全部完成。

关于所谓的【芝诺悖论】，它不是悖论早已定论。快跑者(速度为1/3米/秒)和乌龟(速度为1/30米/秒)赛跑。开始乌龟领先1/3米，显然在 (1/3)/(9/30)=10/9秒钟即可赶上。芝诺举出在10/9前，即追上前有无穷个赶不上的时间点1，1.1，1.11，1.111,......(秒)。形成无穷序列。尽管在这无穷时间点他们的差距越来越小，极限为0。但因为这有无穷个点，所以芝诺认为快跑者永远赶不上乌龟。

李先生说【追不上这一结论相当于数学分析中的“极限只能无限接近，永远不能达到”。】

李先生的说法当然不对。序列是达不到极限点的，也就是说序列中没有最后一项。这在无穷个项的所有时间点上，快跑者都落后于乌龟。但是经过这无穷个点的过程可以完成，当时间到达10/9秒时，这无穷个点全部都经过了，从而快跑者赶上了乌龟。因而说赶不上乌龟的错误，正在于认为经过无穷个点的无穷过程不能完成。也就是说正好是李先生的观点，是芝诺犯错的原因。

李先生认为【极限可能达到】，无限【永远不能完成】的观点是完全错误的。极限不能达到，无限过程可以完成。

因而建立在【无限可以完成】基础上的传统集合论的无限部分就没有错误，存在包含全体自然数、外延固定的无限集合。李先生提出的【建议教育部门暂时取消无穷集相关的教学，以免误导学生。】就是完全错误的意見。

6.3，关于错误的直觉。

李先生说【直觉告诉我们，任何确实存在的东西都是可以一一列举的，任何可以一一列举的东西都可以用自然数来编号，也就是说，任何一个集合，不管它是大是小，总是可以和自然数集合一一对应。】

我可以明确告诉李先生，你这个直觉是错误的。错在哪里呢？因为我们知道任何无穷集都有一个可数的子集。也就是说，对任何无穷集合你都可以用自然数对它的元素进行编号，但是当你把所有的自然数在编号中全部用完后，你很可能只对这无穷集合的一部分，一个真子集进行了编号。无穷集合还有很多其它元素没有被编号，可是你的自然数已用完了，怎么办。你没有做到此无穷集合的所有元素都被编号。要知道我们说的一一对应要求集合的每个元素都要同自然数对应，你并没有做到这点，完全达到这个要求。你并没有做到【任何一个集合，不管它是大是小，总是可以和自然数集合一一对应。】

例如实数，你可以先一一列举实数中的有理数，当你对所有有理数用自然数一一编号完成后，自然数用完了，你就再无自然数对实数中的其它的无理数进行编号了。实数同自然数集合一一对应的任务就完成不了。也就是说李先生的直觉很可能只是对无穷集合的可数子集一一对应的直覚。把它认为是对整个无穷集合的直觉，并得出结论说【任何一个集合，不管它是大是小，总是可以和自然数集合一一对应。】是错误的。是错误的直覚得出错误的结论。

这实际上也反映了人类要从感性认识提高到理性认识，才能达到真正认识的过程。经过反复的实践和缜密的逻辑思维，不断地克服片面的感性认识，发现和纠正各种各样的错误直觉(即错觉)，才能得到正确的认识。

我们学习数学的人都有这个经验，常常需要通过缜密的逻辑思维来纠正错误的和片面的直覚。李先生的这个关于无穷集合可数的严重错误的直覚就是一个典型的案例。

李先生说的【错误的直觉通常很容易被发现和纠正。相反，一些隐藏的逻辑错误往往不太容易被发现和纠正。】並不符合事实。经常出現的仍然是错误的直觉，逻辑有推理规则，按正常的逻辑推理规律进行的推论，并不存在什么隐藏的错误。李先生的错误就在于他对严格的推理不相信，却常常坚持认为由粗浅的主观的臆想所得出的错误直觉是正确的。。

李先生所说的直觉主义，他的理解也是错误的。直觉主义的发展并不是反映直觉同逻辑的矛盾，直觉主义也并不是强调直觉胜于逻辑，它本身就是一种直覚主义逻辑，它是同经典逻辑在逻辑规律上的矛盾。它不承认排中律，A∧乛A为真，不承认双重否定律乛乛A→A为真。直觉主义逻辑有它一定的道理。但实践说明靠直觉主义发展的构造数学，只是很受限制的一小部分数学。所以这种逻辑并没有被广大的数学业界的学者所接受。只是数学的一个很小的分支采用这种逻辑。李先生用它来为他错误的直觉来辩解，强调错误直覚的重要，这当然是选错了对象，是徒劳的。

最后，李先生说【康托尔的思想虽然富有想象力和创造性，但严重缺乏严谨性和细致性:许多细节和许多明显的矛盾都是他看不到的。缺乏严密的逻辑思维能力，还要迷信逻辑，是他的理论错误百出的原因。】

这都不符合事实，康托尔正是由于逻辑严密观察细緻，他的论理非常正确。而李先生才正是由于【缺乏严密的逻辑思维】才使他提出的各个观点【错误百出】。使本文全篇都是错误。

特别要指出的是李先生在文中指责的什么有人要【把自己的观点，包括意识形态和价值观，强加给别人，甚至不惜诉诸武力，把人类推向自我毁灭的核战争和生物战，是愚蠢的。】等言语是完全不符合事实，无中生有的胡言乱语。

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