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Zmn-0929 李鸿仪: 对角线证明中的逻辑循环

已有 889 次阅读 2023-1-16 17:53 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0929 李鸿仪: 对角线证明中的逻辑循环

【编者按。下面是李鸿仪先生的文章，现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

对角线证明中的逻辑循环

李鸿仪，Leehyb@139.com

摘录：

错误的东西代代相传，会把人集体反智化且不易纠正。所′以，必须尽快清除错误，正本清源，这样才能使得数学的发展尽快走上康庄大道，并为后代的健康发展，扫清障碍。

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对角线证明似乎非常简单：

假定小数可数，则可将其列为：

0.a₁₁a₁₂a₁₃...
0.a₂₁a₂₂a₂₃...
0.a₃₁a₃₂a₃₃..（1）
......

其中，a_ij的行标i表示小数个数，列标j表示小数位数。

在(1)的对角线上，行标等于列标,令

b_ii≠a_ii，（i=1,2,3.....）（2）

则康托认为

b=0.b₁₁b₂₂b₃₃....（3）

不属于（1），即（1）未能根据假定列出小数，形成矛盾，所以原假定不成立，即小数不可数。

然而，事情真的那么简单吗？

可数的定义是小数集合与自然数集合一一对应，而（1）中的行标集合｛1,2,3,....｝正好与小数一一对应，所以，可数假定中与小数一一对应的自然数集合是指行标集合，不是指列标集合。

有的人认为，既然是可数，就必须与也是自然数集合的列标集合一一对应。这种说法实际上是混淆了行标集合和列标集合（除非能证明行标集合=列标集合，以下将会看到，这是无法证明的）。

由于无论是行标集合还是列标集含，都是自然数集合，所以首先必须对自然数集合有一个正确的认识。

任何自然数都是有限的，但是自然数集合却是无限的。该事实说明，所谓自然数集合的无限性，不过是有限的自然数的增加没有上界。简单地说，无限即无界。只有这样解释，一切才会合情合理且符合逻辑，也不会产生悖论，而任何其他解释都会导致矛盾，也就是说，该事实实际上已经证明：无限即无界。

数列极限中的n→∞，也与“无限即无界”相一致: n的增加没有上界。这也是微积分在实践上高度可靠：不但开启了工业革命，还能使得人类上天入地的原因之一。如果数学分析对无限的认识是错误的，能够有这些成就吗？

所以，对无限集合，用数学分析加以研究更为可靠。

对于二进制小数，n位小数有m=2ⁿ个小数，用数学分折易证，n→∞时，Lim(m/n)=∞，即用行标表示的小数个数是用列标表示的小数位数的高阶无穷大。因此(1)是一个无限大且无限狭长的长方形矩阵。

如前所述，数学分析是高度可靠的，因此这是一个不容置疑的事实。

需要特别注意的是，该事实与可数假定的表述并无任何冲突:数学分析只证明了用行标表示的小数个数是用列标表示的小数位数的高阶无穷大，没有也不可能证明行标不与小数一一对应。

很多粗心大意的人误以为该事实与可数假定矛盾，显然也错了、

不过，该事实显然与基数理论冲突:在基数理论中，所有的自然数集合都具有相同的基数，因此都能够一一对应，而行标和列标虽然都是自然数，但显然不能一一对应。

因此，根据基数理论，行标和列标应该是能够一一对应的，也就是说，(1)似乎应该是一个无限大的正方形？

然而，基数理论是建筑在对角线线基础上的。在对角线的证明过程中，基数理论还未成立，所以没有必要也不可以在这里讨论基数理论，否则就形成了把结论当做前提的逻辑循环。

也就是说，完全没有必要理会这个明显与事实冲突的、假想中的正方形。进一步的推导仍然应该在与可数假定并无矛盾且完全符合事实的长方形基础上进行下去，

另一方面，b=0.b₁₁b₂₂b₃₃….虽然可以无限延长，但其下标对应的行标和列标始终是严格相等的，因此，对角线只考察了小数个数与小数位数严格相同的小数位aii,（i=1,2,3,…），而这些小数位所对应的小数只能形成上述假想中的正方形，且该正方形被实际的无限狭长的长方形所包含。因此，b不在假想中的正方形里面并不意味着b不在（1）所形成的实际的长方形里，即并没有任何矛盾（见图1）。

也就是说，对角线并没有证明实数不可数，相应的基数理论当然就无法成立了。

除非先假定基数理论成立，得到假想的正方形，由于b不在这个假想的正方形内，于是形成了所谓的“矛盾”，“证明”了实数不可数，并进而证明基数理论成立？

先假定基数理论成立，然后才能证明基数理论成立，人类的正常思维允许这种逻辑循环吗？

科学尊重且只尊重事实，只要把对角线的问题说清楚，包括各国院士在内的，全世界工作在数学基础专业内的部分主流数学家们，或许都会为未能及时发现这个逻辑循环而感到遗憾。

另外，在康托定理中，如果把自然数集合和二进制小数的位数一一对应，则其各幂集就可以与二进制小数一一对应，因此，康托定理也只是证明了小数个数比小数位数多，即(1)是长方形而已，与小数可数不可数完全没有关系。

其实(1)反而提供了一种证明小数可数的方法:既然小数可以与用自然数表示的行标一一对应且并没有导致任何矛盾，当然就证明了小数是可数的。

错误的东西代代相传，会把人集体反智化且不易纠正。

比如说对角线证明，这么简单明显的错误，尽管国内外早就有人质疑，固步自封、自以为是的主流数学界竟然很少有人能看出来，难道不是早已经被彻底反智化了吗？

所以，必须尽快清除错误，正本清源，这样才能使得数学的发展尽快走上康庄大道，并为后代的健康发展，扫清障碍。

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