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Zmn-0926 薛问天: 正确认识用集合定义关系，评一阳生先生的《0924》

已有 909 次阅读 2022-12-30 22:35 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0926 薛问天: 正确认识用集合定义关系，评一阳生先生的《0924》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对一阳生先生的《Zmn-0924》的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

正确认识用集合定义关系，

评一阳生先生的《0924》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

一，一阳生先生要了解我们是在进行逻辑推理。逻辑推理就是要在一定的假定下进行的推理。

我说：〖所以在定义子集时不能用子集R={<x,y>: R(x,y)}，来定义，因为此时并不知道关系R的确切涵义。可以用其它方式来定义集合R，例如给出它的所有属于它的元素等。必须是先给出集合，才能用集合来定义关系。〗

我们说的是用集合R来定义关系，是在说如果有一确定的集合R就可以定义一个确定的关系。是在R是确定的集合这个假定下来讨论问题的。因为有这个假定，因而集合R是如何给定的，就不在我们的讨论之列。怎么都可以，不要求一定先知道关系R，由R来定义集合R={<x,y>: R(x,y)}。

因为讨论的是用集合来定义关系，而不是由关系来定义集合。就是假定集合是给定的，确定的。因而是不论集合确定的方式的，怎么给定都可以。只要假定是给定的确定的集合，就能唯一确定地定义确定的关系。这是我们论证的内容。

一阳生先生问道【这个其他方式是什么？不是某种关系吗！请说清楚！，如果您说不清楚，代表您连集合都定义不明白，那就玩不了数学了！如果您连子集都首先定义不出来，就更谈不上后续的定义您所谓的关系了！】

至于说道在集合论中，集合是如何定义和给定的，当然可以说清楚，那就是用集合论的公理。根据外延公理(1)。凡是存在的集合都有确定的外延，是确定的集合。因而凡是能用集合论公理证明是存在的集合，就是定义的给定的确定的集合。我们知道集合论的公理ZFC还有: 空集合存在公理(2)，无序对集合存在公理(3)，幂集合存在公理(4)，并集合存在公理(5)，分离公理模式(6)，替换公理模式(7)，无穷集合存在公理(8)，正则公理(9)，选择公理(10)。

这些公理都是在说集合的存在。因而凡是能用公理通过逻辑推理证明定义集合的存在，就是定义和给定集合的方式。

要知道【关系】并不是公理中的原始概念。因而一阳生先生所说【给定一个集合，子集公理就是用其元素具有的不同性质、关系给出其子集的方法。包括朴素集合论中定义集合的方法，都是用性质、关系来定义集合。】

这是不对的。一方面，集合的给定是所有的公理都可给定，不是只由【子集公理】一个公理来给定才算给定。另一方面子集公理，即分离公理模式(6):

∀y∃x∀u(z∈x⇔(z∈y∧A(u))) 中的A(u)是ZF形式语言中的任一公式。它并不是一阳生先生所理解的【关系】。在集合论中并没有【关系】这个原始概念。

一阳生先生说【您居然说给出所有元素，您难道只打算定义一些包含有限几个元素的集合吗！】

难道无限集就不能【给出所有元素】吗。皮亚诺公理就给出了无限的自然数集合的所有元素。集合论的无穷公理就给出了无限的归纳集合的所有元素。

一阳生先生说【即使给出有限几个元素，您也要首先明白为什么给出的是这几个，而不是别的几个。其中的【明白为什么】如果不是依据元素各自具有的某种性质、关系，那又是什么呢？请说清楚！】

这段话说明一阳生先生不了解逻辑的相对性。他只知道由性质可以定义集合，而不知道由集合可以定义性质。这就需要提高逻辑水平了。当且仅当是具有双向性的。由元素满足此属性当且仅当元素属于此集合的这个事实，既可以由属性定义集合也可以由集合定义属性。我发现一阳生先生对逻辑的相对性缺乏足够的认识。

二，一阳生先先说【把关系定义为笛卡尔乘积的子集。即关系是子集。这个定义是不对的。】

他的意思是说【关系】和【子集】是两个不同类型的概念，所以不能定义说【关系是子集】。关于这点我己说过多次。【关系】和【子集】当然是两个不同类型的概念。但是在如下的意义下却有相同之处。即元素x,y具有关系R，当且仅当，二元组元素<x,y>属于子集合R。也就是说我们用子集来定义关系，说【关系是子集】，是有它的意义的，是在这个意义下【关系是子集】。请问阳生先生，你对【关系】和【子集】在这个意义下所具有的相同之处，也不同意吗？

一阳生先生说【应把关系作为子集的修饰限定词。】这样说是不对的。【关系】和【集合】，都是具体的数学概念。我们用集合来定义关系这个概念的确切数学概念。说

元素x,y具有关系R，它的确切含义就是，二元组元素<x,y>属于子集合R。这里不仅仅是为了【称呼的方便】。而是有实际的意义。关于关系，还可以讨论自反性，对称性以及传递性等关系的特性。把有些性质提高到关系概念来认识，这是一种进步。绝不能简单地说关系是【修饰限定词】。

三，一阳生先生认为【当且仅当】可以用在定理当中，表明两个命题等价，【两个命题是同等真确的。】也可用在定义当中，表明两个命题相等，是一个命题，【两个命题是同一关系。】

一阳生先生认为【您对【R(x,y)当且仅当<x,y>∈R。】当中的【当且仅当】概念的用法产生了错误的理解！】【在笛卡尔乘积的子集被定义出来之后，当且仅当的用法是第一种，而您错用了第二种。】

显然，如果当笛卡尔乘积的子集R是由己知关系R来给定的，即R={<x,y>丨R(x,y)成立}。则【R(x,y)当且仅当<x,y>∈R。】是一条可证的集合论中的定理。

但是当我们对关系R定义时，不知关系R是什么，我们说任何关系R都可以由一个笛卡尔乘积的子集R来定义，使【R(x,y)成立当且仅当<x,y>∈R。】这就是对关系R的定义。就是先生所说的第二种用法，完全正确，一点都没错。

另外关于子集关系的定义。我想告诉一阳生先生的是，应该对关系概念的提出己是进一步的数学抽象这点有明确的认识。当我们说x是y的子集，这只谈到x是y的【子集】这个子集概念。但谈到集合x和集合y具有【子集关系】，这已是进一步的一个【关系】概念了。我们应休会和理解其中的不同和进步。在自然数中我们很容易知道小于这个概念，2小于3，3小于4。但是当把小于看成形成了自然数中的小于关系这个概念，这己经是进一步的一个概念了。要知道看作是【关系】就有了一些新的研究和认识。例例如，如果对任何元素x，都有R (x x)成立，则称R是自反的关系。如果对任何元素x,y，若R(x,y)成立，则R(y,x)成立，则称R是对称的关系。如果对任何元素x,y,z，若R(x,y)和R(y,z)成立，则R(x,z)成立，则称R是传递的关系。显然小于关系<，不是自反的，不是对称的，但是传递的关系。而小于等于关系≤则是自反的，传递的，但不完全是对称的。作为关系可以进行更进一步更深入的研究。

也就是说，只谈到x是y的【子集】这个子集概念和谈到如果x是y的子集，则集合x和集合y有【子集关系】，这在概念上还是有所不同的，用到了关系这个新的概念。因而在已有的x是y的【子集】这个概念的基础上定义【子集关系】这个概念的定义，是完全必要的。也就是说我们称集合x和集合y具有子集关系，x⊆y，当且仅当<x,y>∈R，R={<x,y>丨对任何元素a，如果a∈x，则a∈y}。

当然，由于【对任何元素a，如果a∈x，则a∈y】就是【x是y的子集】的定义，因而可证，这样定义的集合x和集合y具有子集关系，x⊆y，同集合x是集合y的子集的定义是当且仅当的，是完全一致的，完仝等价的。说明其中没有任何矛看。不同之处在于这个定义涉及到了关系。

四，关于【正确的认识R(x,y)、R、集合、二元组四者及其之间的关系。】

一阳生先生对我说的这句话〖要知道一般并不谈关系的外延。关系有【所有满足此关系的二元组】，而这正是集合R的外延。3＜9并不是集合的外延，而只是外延中的一个元素。〗表示不滿。

一阳生先生说【二元组在您这里居然可以称呼为笛卡尔乘积子集的外延了。】

由于在我们的定义中，【R(x,y)成立当且仅当<x,y>∈R。】笛卡尔乘积子集R的外延当然是【所有满足此关系的二元组】，请注意在二元组前面还有【所有满足此关系的二元组】，这几个字。

一阳生先生说【3＜9居然变成了二元组的一个元素了。二元组也是集合，您认为集合的元素还是集合，3＜9居然成为集合了！】

由于【R(x,y)成立当且仅当<x,y>∈R。】满足3<9的二元组<3,9>当然属于子集R，是R的元素。

一阳生对公理集合论，不甚了解，在公理集合论中，所有的个体词都是集合。因而所有集合的元素都是集合。【集合的元素还是集合，】这是很自然的事，不必为此感到奇怪。二元组<x,y>自然也是由集合定义的。二元组<x,y>虽然由集合来定义，但它仍具有二元组的特征，是二元组。满足3<9的二元组<3,9>在集合论中表示为集合。但它仍然是二元组，我们当然知道但并不关心这个集合的元素是什么。不必提出【请回答集合3＜9的元素是什么。】这样的问题。这只要查查如何用集合定义二元组，即可完全得知。

一阳生先生说【某个集合当然是具体的。但若把关系作为集合，关系就不具体了。一个关系中可能有多个二元组，一个二元组至少对应一个如3＜9这样的元素。一个小于关系可能对应多个像3＜9这样的对象。一个小于关系和一个像3＜9这样的对象，通过数量上的对比，谁具体谁不具体一目了然！所以您定义出来的关系真的不具体，虽然集合是具体的。】

先生的议论毫无根据。用集合来定义关系，因为集合是具体的，所以定义的关系也非常具体。先生也知道，一个关系中可能有多个滿足此关系的二元组，一个滿足此关系如3＜9的二元组<3,9>。对应一个这样的元素。一个关系的所有可能满足此关系的二元组形成一个集合。【R(x,y)成立当且仅当<x,y>∈R。】尽菅一个关系中可能有多个滿足此关系的二元组，但它形成的集合却是非常具体的。

关于R和R(x,y)在用语上的不同，我已说过多次。R指的是关系，R(x,y)指的是元素x,y满足(具有)关系R，对元素x,y，关系R(x,y)成立。因而这两者是不同的用语，不是同义反复，不能写【R(x,y)=R】。当然关系R同对有元素x,y满足关系，使R(x,y)成立是不可分的。只是用语的不同，就如同对任何集合，都密不分地会谈到集合有元素属于它。集合R同它的元素x∈R密不可分，但用语不同，不可混消。

一阳生先生说【您说：“对关系应用【满足】【具有】和【成立】，对集合才用【属于】。可看出您区别对待了【关系】与【集合】的应用。根本原因还是您终究认识到了两者根本不是同一类型的对象。】

这段话基本上是对的，关系和集合是不同类型的数学对象。但是我们可以用集合来定义关系。是因为在一定意义下，这两个概念在数学上有共同之处。即【对任意元素x,y，R(x,y)成立，当且仅当，二元组<x,y>∈子集R。】正是有此共同之外，才可以用集合来定义关系。

一阳生先生说【不过【满足】【具有】不是数学中的正式概念，使用它们之前请解释清楚它们的含义。毕竟数学是严格的。】

这种说法不对，在正式的关系定义中。用到了元素x,y对关系的满足和具有。以及对元素关系的成立，所以说它们是正式的数学概念。这个定义本身就对关系的满足，具有和成立给出了严格的定义。即【对任意元素x,y，R(x,y)成立，当且仅当，二元组<x,y>∈子集R。】从而任意元素x,y，满足(具有)该关系，使R(x,y)成立，就定义为，当且仅当，二元组<x,y>属于子集R。

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