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Zmn-0922 薛问天: 数学就是要研究这些不同的概念有何共同之处。评一阳生先生的《0921》

已有 994 次阅读 2022-12-10 20:35 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0922 薛问天: 数学就是要研究这些不同的概念有何共同之处。评一阳生先生的《0921》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对一阳生先生的《Zmn-0921》的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

数学就是要研究这些不同的概念有何共同之处。

评一阳生先生的《0921》。

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

薛问天-s.jpg 。一，一阳生先生认为【关系不可定义为集合】的一个理由，是关系是【另外一种类型的对象。】

这种认识明显不对。在数学中当然存在很多不同的概念。这些概念都是互不相同的。但是这些概念并不都是互不相关的。说穿了，什么是数学，数学就是研究这些不同的概念之间有什么关联，在什么条件下，在什么意义下，这些不同的概念之间有哪些相同之处。把它们之间的不同和相同之处研究清楚，把这些规律研究清楚，这是文明，是进步，是清晰，不能把它看成是【混同】和【混淆】。

例如自然数和集合，当然是两个不同类型的数学概念。但是我们可以把自然数的集合定义为满足皮亚诺公理的集合，把自然数定义为这种特殊集合的元素。从而可以完全用集合论来研究自然数的理论。这是完全正确的思路。这并没有混同自然数和集合这两个不同的概念。

关系和集合当然是两个不同的数学概念。但是在这样的意义下，它们是相同的。即二(多)元关系R是二(多)元组的集合R。严格点说是关系R(x,y)成立当且仅当二元组<x,y>∈R。从而可以用集合来定义关系。真不知为何一阳生先生却连篇累牍地说【关系不可定义为集合】。我想还是一阳生先生对具体的关系的构造过程缺乏具体的了解。不妨我们谈一个具体的例子，来加强对具体的实际情况的了解。

例如我们举一个有限集合中关系的例子。设有集合A={a,b,c,d}，我们要定义此集合中的小于<关系。要定义这个小于关系，就必须把满足小于关系的元素全部列举出来。即列出: a＜b, a＜c, a＜d, b＜c, b＜d, c＜d。大家看清楚没有，把小于关系<定义清楚，在数学上就是要列出这个二元组的集合

R={<a,b>,<a,c>,<a,b>,<b,c>,<b,d>,<c,d>}，

使得x<y，当且仅当，<x,y>∈R。也就是说【关系<】在数学上实际上指的就是一个集合R。

再例如，我们要定义此集合A中的小于等于≤关系。要定义这个小于等于关系，就必须把满足此关系的元素全部列举出来。即列出: a≤a, a≤b, a≤c, a≤d, b≤b, b≤c, b≤d, c≤c, c≤d, d≤d。大家看清楚没有，把小于等于关系≤定义清楚，在数学上实际上就是要列出这个二元组的集合

R1={<a,a>,<a,b>,<a,c>,<a,d>,<b,b>,<b,c>,<b,d>,<c,c>,<c,d>,<d,d,>}，

使得x≤y，当且仅当，<x,y>∈R1。也就是说【关系≤】在数学上实际上指的就是一个集合R1。

一阳生先生说【我想您如此做似乎想达成一个目的：用集合论解释一切数学，比如一切对象包括关系都可被定义为集合。】

这个说法沒有错。这不是我个人的目的，而是理论数学界的公识。是以集合论作为数学的基础。任意数学概念，都有严恰的数学定义，这个数学定义，一环套一坏，形成一个定义链，最后都归归宿到集合和属于的原始概′念。从而把数学理论归结为集合论的理论。以集合论的公理系统为基础来证明所有的数学理论。这个思路并沒有错误。

一阳生先生认为关系是【那它必是另外一种类型的对象。】说【想必您和与您有同样目的的人会感到不舒服，您们的目的仍然达不成，集合论中仍然存在两种不同种类的对象。】

这种说法是不对的。不同的数学概念，并不是互不相干的概念。数学就是要研究它们之间有何联系，在什么条件下，在什么意义下，它们这些不同类型的对象有何相同之处。

例如【性质】和【集合】这是两个不同的数学概念。说某元素x是【偶数】，这个【偶数】是元素x的性质P，记作p(x)。但是在数学上可以把这个【性质】表示为【集合】，即令集合P={x丨P(x) }，从而【 x具有性质P，即P(x)，当且仅当，x属于集合P，即x∈P。】也就是说虽然性质和集合是不同的数学晚念，但是在这个当且仅当的意义下，这个性质P(是偶数)同这个集合P有相同之处。在这个意义下，它们是相同的。

同样，关系是二(多)元组的性质，集合A中的小于关系<同A的二元组的集合R，即笛卡尔乘积AxA的子集R，虽是不同的数学概念，但是x<y这个小于关系成立当且仅当二元组<x,y>∈R，属于集合R。即小于关系<同这个集合R，在这个当且仅当的数学意义下是相等的。

关于【属于关系∈】这个原始概念，同样有一个相应的二元组的集合R={<x,y>丨x∈y}，使得x∈y当且仅当<x,y>∈R成立。这个事实仍然是成立的。只不过是不能将其看作【定义】罢了，定义中不允许循环定义。但是这个事实仍然成立。

一阳生先生认为【集合概念本身不具体不实在，但属于关系具体而实在。】

我认为这样的看法并不正确。集合和属于关系是集合论中互不可分的原始概念。谈到集合必须要谈到集合有元素属于该集合。谈到属于关系必然说的是集合的元素属于集合。所以这两个概念是不可分的，都是【具体而实在的】，不存在【不具体不实在】的问题。

一阳生先生还说【如空集合和自然数集合等数学中的具体而真实的存在，它们之间的属于关系、子集关系等关系同样具体而实在。如果您反驳，请解释为什么属于关系不是另外一种对象或存在。】

这个问题问得莫明其妙。空集和自然数集合当然是具体的真实存在的集合。我什么时候反对过说【关系】不具体不实在？根据什么要我解释【为什么属于关系不是另外一种对象或存在。】

我并没有否定关系和集合是两个不同的概念。我承认这是两个不同的概念，但是要知道不同的概念之间并不是就毫不相干没有任何联系的。我们己经分析得相当清楚，在关系和集合间，在我们所说的意义下，在数学上是【当且仅当】的，有相同之处，看清它们的不同也看清它们的相同之处，这是文明是进步，是科学，而不是【混同】和【混淆】。

二，一阳生先说【我的分析过程是：若把关系定义为笛卡尔乘积的子集，则须首先对笛卡尔乘积应用子集公理去定义子集，须首先通过属于某种关系R的R(x,y)来定义子集{<x,y>: R(x,y)成立}。请问薛老师，我上面的分析对不对！】

在用子集定义关系时，说先用关系定义子集【须首先通过属于某种关系R的R(x,y)来定义子集{<x,y>: R(x,y)成立}。】这显然是不对的。在用子集定义关系时，当然是先定义子集，用定义好的这个子集来定义关系的确切涵义。所以在定义子集时不能用子集R={<x,y>: R(x,y)}，来定义，因为此时并不知道关系R的确切涵义。可以用其它方式来定义集合R，例如给出它的所有属于它的元素等。必须是先给出集合，才能用集合来定义关系。当然【不是先有某种关系后有子集的定义！】

一阳生先生认为【在子集被定义出来之前和被定义过程当中，......没有一个明确的R(x,y)，】就不【能用子集公理定义一个子集】。这种说法是不对的。你无论怎么给出集合，这个集合就定义了一种关系。不同的集合对应不同的关系，无论集合如何给出，这些集合定义的关系都是存在的。不存在给不出集合和定义不出关系的问题。

至于如何称呼，也不是问题。先生问【称呼“R(x,y)属于某种关系R”合不合适！否则如何称呼？】对于关系，R(x,y)一般称为x,y【满足】或【具有】R关系，或R(x,y)【成立】。对于集合R，一般称为二元组【属于】R。<x,y>∈R。这样比较合适。

由于在数学上把关系定义为二元组的集合，即笛卡尔乘积的子集。所以我们在这里用了【相等】的概念。即集合A的小于关系<【等于】集合R。集合A的小于等于关系≤【等于】集合R1。但是这个数学上的【相等】概念是在【当且仅当】的意义下的。即x<y当且仅当<x,y>∈R，x≤y当且仅当<x,y>∈R1。

要知道一般并不谈关系的外延。关系有【所有满足此关系的二元组】，而这正是集合R的外延。3＜9并不是集合的外延，而只是外延中的一个元素。所以一阳生先生说【那么关系的外延将不是<x,y>，而是R(x,y)如3<9。关系将不是笛卡尔乘积的子集。】是不正确的。

一阳生先生提出了一个他认为是【一个滑稽搞笑的问题：若把关系定义为笛卡尔乘积的子集，那么如何用子集来定义子集关系呢？请给出您的回答。】

这一点也不搞笑。子集关系，作为一种关系当然可以用集合的二元组的集合，即笛卡尔乘积的孑集来定义。我们称集合x是集合y的子集，x⊆y，当且仅当<x,y>∈R，R={<x,y>丨对任何元素a，如果a∈x，则a∈y}。

在R的定义中用到的是原始概念属于关系∈，并末用到所定义的集合间的子集关系⊆，因而这不是循环定义，是正常的定义。

三，一阳生先生对【把关系定义为二元组的集合】这点理解不清的一个误点是沒有分清【二元组】和【二元组的集合】。

一阳生先生说【我们来考察某笛卡尔乘积的一个元素如<2,2,4>。该元素是加法关系或乘法关系，但也可能是某运算，即该元素既可以是关系又可以是运算。】

认为【该元素是加法关系或乘法关系】这是概念错误。要知道什么昱【关系】，【关系】是多位元素的一个性质，即有些元素具有此性质，满足此关系，有些元素不具有此性质，不满足此关系。我们是把所有具有此性质满是此关系的元素的全体构成的集合定义为【关系】，而不是把元素本身定义为关系，因而说【该元素是加法关系或乘法关系】，这是原则的概念错误。

另外一阳生先生后面说的【所以子集R3的元素<2,2,4>可以对应2+2=4，又可以对应2*2=4，还可以对应运算2+2+4或2*2*4等等。由此可见笛卡尔乘积的某元素到底对应谁，是混乱不清的。】这些评论也都是错误的。我们把关系定义为元素的集合，而不是定义为【某个元素】，因而【某元素到底对应谁，是混乱不清的。】说明不了我们定义的关系混乱不清。我们定义的加法关系的集合是R1，它包含了所有有满足加法关系的元素，R1 ={<x,y,z>：x+y=z }。我们定义的乘法关系的集合是R2，它包含了所有满足乘法关系的元素，R2 ={<x,y,z>：x *y=z }。关系对应的是集合，而不是个别元素。这里一点混乱都没有。至于所说的集合R3={<2,2,4>}，它既不是加法关系也不是乘法关系的定义。它定义的关系是x=y=2,z=4 。我们可以研究这些关系之间的联系。由于R3⊆R1。和R3⊆R1，所以这个关系对加法关系和乘法关系有蕴涵关系。即如果元素满足关系x=y=2,z=4，则此元素一定满足加法关系。同时，如果元素满足关系x=y=2,z=4，则此元素也一定满足乘法关系。可以用定义关系的集合来讨论关系之间的联系。这一切都很正常不存在任何混乱。

四，首先我想告诉一阳生先生，我们在这里讨论的【把关系定义为集合】，所讨论的【关系】，是具体的数学概念。不是在进行语言学的研完，也不是在进行哲学研究。不是在研究抽象的【关系】概念。不像一阳生先生所说的那样，【并没有一个具体而实在的关系存在，......关系只是各种具体关系的共性】。我们讨论的是数学概念，【关系】就是具体的数学概念，如小于关系<，小于等于关系≤，以及属于关系∈，集合间的子集关系⊆等，都很具体。

一阳生先生说【虽然您把关系定义为集合，但从您在多处表述中看出，您的潜意识并没有认可这个定义。】

不对，我当然是认可这个定义的。我的表述有严格的要求。不随意乱说。

在单独谈到关系R时，可以谈论它的存在。如说在集合A={a,b,c,d}中有小于关系<存在，有小于等于关系≤存在。可以说集合A同关系<形成一个有序集<A,< >。
但单独说关系R时，一般不说关系R成立，说关系R成立必须同元素一起来说。关系是二元组元素的性质，对有些元素<x,y>，满足关系R，R(x,y)成立。对有些元素<x,y>，不满足关系R，R(x,y)不成立。因而单独谈【关系R】，同表达对元素x,y满足关系R是否成立的【关系R(x,y)】的涵义当然不同，不是同义反复，不能写【R(x,y)=R】。

一阳生先生问【R(x,y)与R之间是何关系呢？R(x,y)与元素<x,y>又是何关系呢？】
R指的是关系，R(x,y)成立指的是元素<x,y>满足(具有)R关系，R(x,y)不成立，指的是元素<x,y>不满足(不具有)R关系。

一阳生先生说【您在Zmn-0920中的两处表述【虽然如果<x,y,z>∈R3，则x=y=2，z=4其满足加法和乘法关系，但满足加法或乘法关系的<x,y,z>并不都属于R3。如<2,3,5>满足加法关系，<2,3,6>满足乘法关系，但它们都不属于R3。】和【需要注意的是同属于关系对应的子集是R，而不是一阳生先生所举的集合{< 1,2 >}，因为大量的满足x∈y的二元组<x,y>都不属于此集合，如2∈3，3∈4等。】中，同样可看出，您心目中的关系究竟是什么。】

我所指的【关系】很明确，前面指的是加法关系和乘法关系，即元素<x,y,z>满足加法(或乘法)关系是指满足x+y=z(或x*y=z)。后面指属于关系∈，即元素<x,y>满足属于关系∈是指x∈y。

一阴生解释说【两处表述中的【满足】可解释为属于。】这解释得不对，前面已讲过，对关系应用【满足】【具有】和【成立】，对集合才用【属于】。

一阳生先生说【现在看第二处表述中的【满足x∈y的二元组<x,y>】，x∈y才是您心目中关系。】

这说得不确切，这里指的关系当然是属于关系∈。只有在说到元素二元组<x,y>时，才说到该元素满足x∈y。x∈y的意思就是元素<x,y>满足关系∈。

一阳先生说【您在Zmn-0920中的表述【关系必须能对元素给出是或否，成立或不成立的回答。】有误。】

沒有误，关系是元组元素的性质，当给定关系和元素时，必须给出该元素是否满足该关系，即对该元素该关系是否成立的回答。

另外，我们把关系R用笛卡尔乘积的子集R表示，则对任何元素，<x,y>满足关系，R(x,y)成立，当且仅当元素<x,y>属于集合R。

由于是当且仅当，是双方面的。所以即可以【关系通过元素是否属于集合的判断，给出R(x,y)是或否、成立不成立的回答。】也可以根据R(x,y)是否成立，对元素是否属于集合作出正确的回答。

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