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Zmn-0914 薛问天: 全体自然数的集合N,不是弹性集合N(n),评李鸿仪先生的《0913》。

已有 1129 次阅读 2022-11-3 17:58 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0914 薛问天:  全体自然数的集合N,不是弹性集合N(n),评李鸿仪先生的《0913》。

【编者按。下面是薛问天先生的文章,是对李鸿仪先生的《Zmn-0913》的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神,对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意,也有些有严重错误的文章在这里发布,就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

 

 

全体自然数的集合N,不是弹性集合N(n),

评李鸿仪先生的《0913》。

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

薛问天-s.jpg看了李鸿仪先生的《外延可变集合》一文,按我的理解,他要所说的【弹性集合】,即外延变化的集合,并不是集合论中的确定的【集合】,而是随着某时间变量变化的集合。用严格的数学语言来说,它是以时间为自变量的函数,函数变量以取集合为值。也就是说,弹性集合在每个时间的瞬时,都有一个相应的确定的集合,这个相应的瞬时集合是外延确定的,不同的瞬时,这相应的瞬时集合可以是不同的集合,外延不同。所以弹性集合,完全可以在現有集合论的基础上严格定义。′

经过这样的严格定义,可以看出全体自然数集合N并不是弹性集合。因而把N看作是弹性集合,以及由此所做出的各种推论都是错误的。

一,在現有集合论的基础上严格定义弹性集合。

1.1,关于弹性集合的定义。

李先生给出的定义是【定义1 元素数目可变的集合称为弹性集合】。

这不能认为是一个严格的数学定义。数学定义要求在定义中所用的概念必须是己知其涵义的。在这个定义中用到了两个概念。一是【数目可变的】,一是【集合】。可以认为【集合】是在集合论中已知其涵义的。但我们多次指出在集合论中没有对所有的无限集,都有它的的【元素数目】这个数学定义。因而用它来作【定义】的用语是不合适的。

另外我建议用李先生的标题,改为【外延变化的集合称为弹性集合】。这是对【弹性集合】的一个说明或解释。按我的理解,对【弹性集合】的外延变化可以这样理解。变化的过程是随时间的变化而变化的。时间是由很多瞬时构成的集合。在某个确定的瞬时,弹性集合在此瞬时,是外延确定的集合,我们称其为瞬时集合。从而任何瞬时集合都有确定的属于它的元素,有确定的属于关系和有确定的外延。在不同的瞬时,有不同的瞬时集合。随着时间的变化,集合的外延在变化。它们的外延变化就说明它已是变成不同的集合。用严格的数学语言来说,弹性集合是以时间为自变量的函数,函数变量以取集合为值。也就是说,弹性集合在每个时间的瞬时,都有一个相应的唯一确定的集合,每个相应的瞬时集合都是外延确定的常规集合。不同的瞬时,这相应的瞬时集合可以是不同的集合。时间变量在变,作为函数的集合的外延随着变化。所以弹性集合,完全可以在現有集合论的基础上严格定义。【定义。弹性集合是以时间为自变量的函数Φ(t),函数变量Φ(t)以取集合为值。

有了这样的严格定义,我们就可以对弹性集合的性质作进一步的研究。设弹性集合A=Φ(t),由于对每个瞬时t,都有一唯一确定的瞬时集合Φ(t),从而对一个弹性集合A就有两个确定的集合。

①,全交集合=所有瞬时集合的交集∩tΦ(t)。无论瞬时集合的外延如何变化,此全交集合中的元素,都包含在所有的瞬时集合中。但是由于弹性集合的外延在变化。所以全交集合一般较小,甚至是空集。

②,全并集合=【所有瞬时集合的并集∪tΦ(t)】。只要是属于任何一个瞬时集合的元素,就是全并集合的元素。所以全并集合对于弹性集合是相当重要的集合。

显然全交集合⊆全并集合。而且通常全交集合是全并集合的真子集。就是说,在全并集合中有些元素并不属于所有的瞬时集合。

这里需要注意的是,弹性集合的全交集合和全并集合都是常规的集合,即外延确定的集合而不是弹性集合。不要把常规集合同弹性集合从概念上混为一谈。后面会㸔到李先生把自然数集合N看成是弹性集合就是犯了这一错误。自然数集合N不是弹性集合,而是弹性集合N(n)的全并集,是常规集合。

我们知道,说两个集合是同一个集合,是指这两个集合的外延相同。那么对于外延变化的弹性集合,可以不可以判定,以及如何判定两个弹性集合是同一的呢?

我发现李先生对同一的弹性集合要求外延变化的【同步相等】。所谓A和B的【外延变化同步相等】,是指在变化过程中的任意瞬时,A和B都分别有各自唯一确定的同步瞬时集合而且相等。因而可以对弹性集合的同一和相等给出严格的定义。【设弹性集合A是函数Φ(t),弹性集合B是函数Ψ(t)。如果对任何t,瞬时集合Φ(t)=Ψ(t),则称A同B是同一个弹性集合,A=B。

另外李先生除了定义了弹性集合的【相等】,还定义了弹性集合的【子集和真子集】的概念。这些都要求A和B的变化同步。它的严格定义应是【两个弹性集合A=Φ(t)和B=Ψ(t),如果对任何瞬间t,A的瞬间集合Φ(t)是B的瞬间集合Ψ(t)的子集Φ(t)⊆Ψ(t)(真子集Φ(t)⊂Ψ(t)),则称为A是B的弹性子集(真子集)。

当然,对两个弹性集合A=Φ(t)和B=Ψ(t),我们可以定义它们交,并和差运算,即A∩B=Φ(t)∩Ψ(t),A∪B=Φ(t)∪Ψ(t),A-B=Φ(t)-Ψ(t)。

1.2,关于自然数弹性集合的例子。

李先生以自然数弹性集合作为例子,进行了讨论。

李说【有限的自然数集{1,2,3,…,n} 中的n不再是一个常数,而是一个自然数变量,可表示为 N(n)={1,2,3,...,n}   ...   (1)  】   

说这就是一个弹性集合。

显然变量n是时间变量的函数n(t),而它的值域是自然数集合N={1,2,3,...}。当变量t变化时,对每个瞬时t,n取一确定的自然数n0=n(t)为值,从而此弹性集合的每个瞬时集合都是一确定的有限集合N(n0)={1,2,3,...,n0}。李先生称其为弹性集合N(n)的【特例】。

显然当变量n取1为值时的瞬间集合N(1)={1}。当变量n取2为值时的瞬间集合N(2)={1,2},...当变量n取 n0为值时的瞬间集合N(n0)={1,2,...,n0},...。

显然弹性集合N(n)的全交集是{1},而N(n)的全并集是所有自然数的集合N={1,2,3,4,...}。

我们来考查弹性集合N(n)和N(m)的关系。

显然变量n=n(t)和m=m(t)都以N为值域。按照弹性集合N(n)和N(m)同一的定义,要求变量n同变量m按变量t同步。即如果变化过程中对任何瞬间t,都有m(t)=n(t)。则任何瞬间的相应的瞬间集合相同,于是N(m)同N(n)是同一弹性集合。

如果对任何瞬间,都有n(t)<m(t),例如m=n+1或m=n+2等,则在任何瞬间t,N(n)的瞬间集合都是N(m)的瞬间集合的真子集,从而N(n)是N(m)的弹性真子集。

对弹性集合N(n)和N1={0}UN(n)的比较。在考虑变量n同步的条件下,显然对任何瞬间。N(n)的瞬间集合都是N1瞬间集合的真子集,因而N(n)是N1的弹性真子集。

显然,如果对任何瞬间t,都有n(t)>m(t),则

N(n)∪N(m)=N(n)={123……n},

N(n)-N(m)={m+1,……,n},

N(n)∩N(m)=N(m)={1,2,3…m}。

如果对任何瞬间t,都有n(t)=m(t),则N(n)=N(m),

N(n)-N(m)=N(m)-N(n)=∅

N(n)∪N(m)=N(n)∩N(m)=N(n)=N(m)。

这些都可证明成立。

 

二,在应用弹性集合中的推论错误。

2.1,认为所有自然数的集合N是弹性集合N(n)是错误的。

李先生引入弹性集合的第一个应用,就是错误地认为所有自然数的集合N是弹性集合N(n) 。他说【不难证明,弹性集合N(n)的外延可以与N相同,即可有N(n)=N ---(3) 成立。

他的证明是错误的。我们已经说明弹性集合N(n),如果n是无上界的自然数变量,则N(n)的全并集就是所有自然数的集合N,全并集中元素只要求属于只少一个瞬时集合,并不要求属于所有瞬时集合,因而其中有很多元素是并不属于全部瞬时集合的。因而李先生在证明中说【对于任意n0∈N,总有 n0<n成立,即可有n0∈N(n)成立。】这显然不对。要知道有这样的瞬时t,【n0<n(t)】並不成立。并不是对所有的瞬时t【总有 n0<n(t)成立】。

所有自然数的集合N,这是一个外㢟确定的集合。凡是自然数就是它的元素,凡不是自然数就不是它的元素。一个数是自然数还是不是自然数,这是确定的不变的。不会有自然数在某些瞬时不是自然数不属于N,而又在某些瞬时是自然数而属于N。这是不允许的。弹性集合N(n)没有确定的外延,自然数N有确定的外延,怎么能说【弹性集合N(n)的外延可以与N相同】,显然不对。

当然,在自然数集合生成的过程中,是一个一个生成的,自然数可以不断增加。但是这是这个集合生成时的情况。我们现在研究的N是已经生成好的集合,不是研究正在生成的N。自然数可以不断增加。只是说明,对集合中任何自然数,在集合中还有比它大的自然数。这已成为集合的无限的性质,说明它不是有限集。并不影响它的外延。因而它是外延确定的集合,而不是外延变化的集合。

可以用弹性集合N(n)来描写N的生成过程。但N并不是这个外延正在变化的N(n),而是外延变化已经完成,最后形成的结果。在集合论中己可表述得相当清楚,N是N(n)的全并集,是【所有它的瞬时集合的并集】。

因而李先生所说的【性质1:N的元素数目可以用一个没有上界的自然数变量n来表示。】是不对的。

这个变量n的每个瞬时值都是有限自然数。所表示的是N(n)的每个瞬时集合(都是有限集合)的【元素数目】,而不是无限集合N的【元素数目】。

李先生又说【性质2: N的元素数目是可以无限增加的有限值。

也是同样的错误,变量n可以取【无限增加的有限值】为变量的瞬时值,所表示的是N(n)的每个瞬时集合的【元素数目】,而不是无限集合N的【元素数目】。

我们知道在数学中并没有无限集合的【元素数目】这一数学概念。只有用一一对应研究的【基数】这个数学概念和相应一套理论。李先生说【本文已明确给出了无限集合元素的数目这一概念,那么无论是基数还是一一对应,实际上已经都不再有学术意义。】这显然是李先生的自吹自擂,完全不符合实际。实际上是李先生并没有正确地给出无限集合【元素数目】的定义。他的工作是完全失败的,毫无学术意义。

至于李先生说的性质3【性质3:对自然数集合,无限的本质是可以无限增加的有限值。】说得也不确切,【无限的本质是可以无限增加...】。说无限的本质是无限增加,用无限说无限,等于什么也没说。实际上在集合论中,对所有自然数的集合是无限集己说得相当清楚。先定义什么是有限集。凡是能同某自然数代表的集合一一对应的集合称为有限集。凡不是有限集合的集合称为无限集合。可以证明所有自然数的集合不是有限集,所以是无限集。即无限集合的本质就是它不是有限集。这在集合论中已定义得相当清楚。

李先生所说的【性质4,不存在唯一的N。】是完全错误的。因为它认为N是弹性集合N(n),N=N(n)是错误的。弹性集合有个变化过程,当要求它们变化同步时,如果这两个弹性集合的变化过程不相同,这两个弹性集合就认为不是同一个弹性集合。例如,弹性集合N(n)和N(m),当要求变量m同n是同步时,即要求对同样的t,对m(t)和n(t)进行比较,当存在有t使m(t)≠n(t),则N(n)和N(m)不是同一个弹性集合。
       要知道N是一个外延不变的集合,硬错误地认为N它既是N(n),又是N(m),然后说N有多个,显然是错误的说法。

 

2.2,应用弹性概念的其它错误。

李先生说【在传统集合论中,无限集合往往用省略号结束,对于省略号里面的内容则未必进行进一步的考察,

这种理解是错误的,在集合论中任何无限集在给出时都有明确的定义。此无限集的确切含义都由此定义明确给出。而省略号只是一个直观表示,此无限集的含义并不是由【省略号里面的内容】所决定的。所以没有必要对其内容作【进行进一步的考察】。

李先生应用弹性集合的错误,集中表现在他举的三个例证上。

例1。李先生说【 N1={0}∪N无法与其真子集N一一对应。

这反映了他一直的错误观点。他始终认识不到无限集能同它的某真子集一一对应。他认为这是【反常】和【反直觉】,源自他的【常】和【直觉】是对有限集的感受,无限集同有限集的这个不同性质,自然是同这个有限集感知得来的【常】和【直觉】是不一样的。李先生缺乏的就是这个认识。

李先生对【N1={0}∪N无法与其真子集N一一对应。】的论证的错误,就是错误的把无限集看作是弹性集合。李先生错误地认为无限集N就是弹性集合N(n)。认为无限集合N1={0}UN就是弹性集合{0}UN(n),这显然是错误的。N和N1都是外延确定的集合,【N1={0}∪N可以与其真子集N一一对应。】这是外延确定的常规的无限集合的属性,你用弹性集合来论证显然是错误的。

特别地把同N可由双射x-1 一一对应的集合{n1|n1=n-1,n∈N},说成是弹性集合,从而与N1不相同,这种论证显然是错误的。我们己严格证明了,{n1|n1=n-1,n∈N}作为常规的无穷集,它就是N1。即N1={0}UN={n1|n1=n-1,n∈N},

同样。李先生错误地把同N1可由双射x+1 一一对应的集合{n |n=n1+1,n1∈N1},说成是弹性集合,从而与N不相同,这种论证显然也是错误的。我们可以严格证明了它就是集合N。即N={n |n=n1+1,n1∈N1}。

李先生说【康托混淆了两者的区别,从而“顾头不顾尾”地得出了无限集合N1可以与其真子集N一一对应这一明显反常识的错误结论。

实际上不是康托尔混淆了区别。而是李先生错误地用外延变化的弹性集合来替代了外延确定的无限集合。要知道弹性集合有个变化过程。如果这个变化过程不相同时,就认为是不同的弹性集合。例如N(m)同N(n),当变量n和m同步变化时对任何瞬时t,都有n(t)<m(t),则认为N(m)同N(n)是不同的弹性集合。但是所有自然数集合N并不是这种弹性集合,而是这个生成过程已经完成,是这个变化过程的结果。用集合论的语言来说,N是N(n)的全并集,即【所有它的瞬时集合的并集】。所以不管变量m和n的变化过程怎么不同,只要m和n都是以无上界的自然数作为变量的取值范围,那么最后的结果,【所有它的瞬时集合的并集】,则是相同的,这就是N。李先生的错误就在于他沒有认识到这一点。

李先生所举的偶数集的奇数集的例子也是一样,本来是很清楚的,这都是常规的无限集。偶数集E={x|x=2n,n∈N}     奇数集O={x|x=2n-1,n∈N}   ,它们可以用双射y=2n和y=2n-1分别证明同N一一对应。N=OUE,E和O是N的真子集。这在集合论中是很清楚的  。可李先生却错误地把它们说成是弹性集合。认为O是弹性集合O(2n),E是弹性集合E(2n-1),从而OUE这个常规集合变成了弹性集合O(2n)UE(2n-1)=N(2n),不等于N(n),从而认为OUE≠N,O和E不是N的真子集。李先生推理的错误就在于把偶数集O和奇数集E这两个常规的无限集看成是弹性集合。错就错在这里,

所以说,这都是李先生对集合论理解的错误,理鲜的混乱。在集合论中并没有李先生所说的【各种概念混淆造成的】【许多所谓悖论】。

例2,李先生说【不存在一个唯一的、已经包含了所有自然数的集合(性质4)

我们知道在集合论中,认为所有自然数集合N,是外延确定的无限集。是唯一确定的集合。而李先生论证说N不是唯一的理由就是一点,说李先生定义的N(n)是个弹性集合,当变量n采用不同的变化过程时,这个N(n)可以是不同的弹性集合。我们可以承认,你定义的弹性集合N(n),在变量采用不同的变化过程时,在同一瞬时,它们的瞬时集合不同,于是它们是不同的弹性性集合。但是这说的是N(n),而不是N。这个推论错在哪里,错在所有自然数的集合N并不是你定义的弹性集合N(n)。我们己说清楚了,我们研究的N,不是生成过程的N,而是生成过程完成的N。不是正在变化的N(n),而是变化完成后的结果。N不是N(n),而是N(n)的【所有它的瞬时集合的并集】,如果n是无上界的自然数变量,则N(n)的【所有它的瞬时集合的并集】就是所有自然数的集合N,它是唯一确定的无限集。李先生的错误就是他没有认识到这一点。

要认识到,N(n)中的n是一个没有上界的自然数变量,从而N(n)是一个外延不断增加的弹性集合。而N(n)的【所有它的瞬时集合的并集】,却是一个已经把全体自然数都包括进去的集合N,它当然包含了所有的自然数而且除N以外,就不再有其他自然数了,故此N是外延已经确定的常规无限集合。N(n)同N两者不是同一个数学对象。不能把N看作是弹性集合N(n)。当N(n)中的n是一个没有上界的自然数变量时,N是N(n)的【所有它的瞬时集合的并集】。

因而李先生在他错误基础上得出的结论【无穷公理不成立】自然是错误的,毫无意义。

李先生说【既然自然数是可以不断增加的,怎么可能增加到不能再增加的程度,以至于可以形成一个已经包含了所有自然数,即外延已不能再扩大、即外延不变的自然数集合?“可以无限增加”与“不能再增加”明显是自相矛盾的,不可能同时为真。

李先生说的这段话,说明他对所有自然数这个无限集还缺乏足够的认识。【自然数是可以不断增加的】说的是这个集合生成时的情况。

当我们研宄已经生成好的包括所有自然数的集合N时,这已变为自然数集合中自然数的一个特性: N中的任何自然数,在N中都有另一个比它大的自然数。这已成为N中自然数的一个特性。这是任何有限集所不具有的,只有无限集才有的特性。这个特性并不是说集合的外延要增加。因为N包括了所有的自然数。所以这个比它大的另一个自然数仍然是N中的数,不需要增加集合的外延。因而这个无穷的特性同N有确定的不再增加的外延是一点矛盾都没有的。认为这里有矛盾,是对无限集缺乏足够的认识。

因而李先生的这种观点是错误的,他说【把在不断进行的无限过程视作已完成了的无限过程,也并不会真的把它变成已完成了的无限过程,也只会导致各种自相矛盾。】认为【不断进行的无限过程】【并不会真的把它变成已完成了的无限过程】这是对我们人类思维,文明智慧的过分地低估。尽管有限后继可以不断产生自然数。这是个无限的生成过程。但是人类的智慧,可以用【所有生成的自然数】这个语言来概括,形成包括全部自然数的集合。对这个【已完成了的无限过程】的结果进行研究,建立无矛盾的理论体系。现代的实无穷观认为所有自然数生成的这种【无限过程】是可以【完成了的】。这就是人类的文明和进步。

例3,关于实数不可数的 对角线证明。

不用仔细分析了。康托尔的证明是在反证法,假定实数可数的假定下,可把实数排成无穷序列。而每个实数用无穷小数表示,从而形成行列都是无穷序列的无穷矩阵。行和列的自然数标号是两个自然数的无穷集合,形成NxN的无穷矩阵。

这里的N都是由所有自然数组成的无穷集合。李先生错误地把N认为是弹性集合N(n),进行了错误的推论。说【这两个自然数集合是不一样的,可用弹性集合: N(n)={1,2,3,...,n}和N(m)={1,2,3,...,m},分别表示小数列标和小数的行标,且m=2n>n。

李先生的论证是毫无根据的随意自说。要知道无穷小数的位数用自然数编号,这个实数的无穷序列就是所有自然数构成的无穷集合N。前边已说过把N当作是弹性集合N(n)是错误的。无穷小数并不是有穷小数的无穷序列。另外特别严重的是,要知道在证明中把实数排成无穷序列,这是由实数可数这个反证法的要推翻的错误假定所推出的。你怎么知道它的标号自然数集合就是你说的弹性集合N(m)=N(2n)?而且认为N(m)是同N(n)不相等的弹性集合。

另外无穷集和有穷集是有严格区别的。李先生所说的【对角线的行号和列号严格一致,所以形成了一个边长为n的正方形(见图1)】这说的是有限集,当行和列是有限集时,有限个有穷小数。对角线的形成要求行和列的个数严格相等,【形成了一个边长为n的正方形】。但对于无限集来讲,没有元素数目的概念,不能要求数目相等。同时也没有【无穷正方形】这个概念。因而对角线ann的存在,只要求行集合同列集合一一对应即可。显然自然数N同它自己一一对应。这在数学上一点问题都没有。

李先生所说的全是有限集的事。不同的n位有限小数共有m=2n个。【图中的横坐标表示小数的位数n,纵坐标表示小数的m个数。从图1可以看到,b虽然不是所列出来的虚线上的n个实数之一,但完全可以是(10)所列出来的m个小数之一,并没有任何矛盾!】这对有穷小数当然是对的。全部n位小数都在m=2n个n位小数之中,是沒有矛盾的。

        但是对于无穷小数来说。所有无穷小数就不可能全部都在可数无穷个实数的序列之中了。这就是康托尔定理要证明的结论。用b这个无穷小数同这无穷对角线上的值皆不相同,证明了元穷小数b并不在此实数的无穷序列之中,从而同实数可以排成此序列产生了矛盾。这个矛盾推翻了反证法的假定使定理得证。

         证明中一点问题都没有。所有的问题都是由李先生把无限的自然数集合错误地当作弹性集合引起的。

         综上所述,李先生提出的弹性集合,完全可以在集合论的基础上严格定义。但李先生认为所有自然数的集合N就是弹性集合N(n)的观点是错误的。N不是N(n),而是N(n)的全并集,是处延唯一确定的集合。因而李先生由此所推出的各项弹性集合的应用推论,各条性质,以及所举的三个应用例证都是错误的。




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