走近三维流形：从双曲几何到立方复形的双向之旅  （三：第三维）

------三维流形中一个划时代证明的故事

作者：Erica Klarreich 发表：SimonsFoundation.Org 时间：2012年10月2日 翻译：杨文元

【译者注】这是翻译自Erica Klarreich发表在SimonsFoundation的一篇科普文章“Getting Into Shapes: From Hyperbolic Geometry to Cube Complexes and Back”。这篇文章通俗地详细讲述了近10多年来三维流形的研究背景和重大的进展，和一大批数学家为完善Thurston的研究纲领而所发生有趣的激动人心的故事。译文较长，计划分六次贴出，方便阅读。第一次做翻译，限于文字水平有限，这已是我竭尽所能译出，敬请方家指正。

【目录】
走近三维流形：从双曲几何到立方复形的双向之旅（一：总览）
走近三维流形：从双曲几何到立方复形的双向之旅（二：曲面研究）
走近三维流形：从双曲几何到立方复形的双向之旅 （三：第三维）
走近三维流形：从双曲几何到立方复形的双向之旅（四：覆盖空间）
走近三维流形：从双曲几何到立方复形的双向之旅（五：构造曲面）
走近三维流形：从双曲几何到立方复形的双向之旅（六：终结篇）

第三维

 

三维流形远比二维流形丰富，因而相应问题也就更加困难。庞加莱于1904年提出一个看上去很简单的问题，却在提出近一个世纪都没有解决，这就是著名的庞加莱 猜想。该猜想声称三维的球面是唯一的紧致的三维流形使得上面的每个闭曲线都可以连续收缩成一个点，即流形上没有“洞”。

 

但是，Thurston更大胆地猜测我们应该也可以像二维流形一样对三维流形进行分类。

 

二维的欧氏几何，球面几何和双曲几何在三维都有对应类型的几何。但是在三维空间，还不仅仅只有这些性质良好的几何存在。例如存在一些混合型的几何使得空间在某些 方向是双曲的或球面的， 而其他方向是欧式的。总而言之，三维空间存在着8种不同的几何类型，它们是一致的：意味着这些几何在空间的每一点处看来都是一样的。

 

如同果曲面一样，Thurston猜想三维流形也可以被赋予一些自然的几何结构。更具体地说，他提议如果我们以一种特别的方式去把紧致的三维流形割成若干部 分，那么每一部分都可以赋予这八种几何中的一种。”目的就是在三维流形上把几何和拓扑完整地统一起来“, Minsky这样解释道。一个自然的途径去证明几何化猜想是去做类似于我们在二维曲面上做的事情：沿着闭圆圈去剪开曲面直到所有的有趣的拓扑性质都被简化 掉而成为一个平面多边形。对于三维流形，因而相应的途径是去沿着曲面去割开它希望最终它也可以变成一个多面体。然后，如果可以赋予这个多面体以正确的几何 的话，我们就可以把这个几何传递到原来的三维流形上。这正是我们对曲面所成功做到的事情。

 

让我们回忆一下曲面上的情形：为了使曲面上的分割程序能顺利继续下去，我们切开的每条闭曲线必须满足如下两个性质：该曲线不能自我相交（用数学语言说，就是” 嵌入的“），而且它必须具备我们所称呼的”有趣的拓扑性质“, 即它其中蕴含了这个曲面的一些拓扑特征从而不能收缩成一点（这些要求确保了沿这样的闭曲线割开确实会从拓扑的角度上简化该曲面）。

 

在1962年，数学家Wolfgang Haken在如下的特定情况下找到了简化三维流形为多面体的方法：假定该三维流形中存在着一个可以沿着它割开曲面。这样的曲面需要满足下面的两个条件：它 必须是嵌入的，并且是不可压缩的，意味着该曲面上的每个“拓扑有趣”的闭曲线在它所在的更大的三维流形中也是“拓扑有趣”的。（译者注：即曲面上闭曲线如 果在曲面上不可收缩成一点的，那么同样即使在流形中变形也不能收缩成一个点。）

 

因而，比如一个环面在我们的三维空间中就不是不可压缩的，因为每条绕着环面的闭曲线在环面上是“拓扑有趣”的，但它却可以在三维空间中压缩为一个点。相反 地，这个环面在如下的三维流形中就是不可压缩的：即由该曲面加厚而得到的三维流形。为了具有不可压缩性，该曲面的每个拓扑的特征都必须反映出更大的三维流 形上的拓扑的一些性质。这样的含有嵌入的不可压缩的曲面的三维流形现在被称为Haken流形。

 

如果我们的三维流形中有一个嵌入的不可压缩的曲面，那么沿着它割开便会简化一些拓扑有趣的性质，从而会得到更简单的三维流形。更重要地是，Hakan证明了 只要该流形包含一个这样的曲面，那么割开以后得到的新的流形仍然是Haken的：也就是说新流形中仍然包含一个嵌入的不可压缩的曲面，从而可以去继续分割 它。这样经过有限步以后，Haken证明了原流形上有趣的拓扑性质就完全被简化完了，而得到了一个多面体。

 

在1970年代后期，Thurston证明了我们可以在最后得到的多面体上赋予八种三维几何中的一种，使得多面体上的几何可以自然地传递到再粘合回去的流形 上，也即多面体的顶点和面可以"恰如其分"地粘合在一起。换句话说，Thurston对通过由“标准分解”得到的每部分都是Haken流形的三维流形证明 了他的几何化猜想。（译者注：所谓标准分解，作者本文中并没有论述，读者应避免与所述的Haken流形的切割程序相混淆。）

 

不幸地是，任意给定一个紧致的三维流形上并没有保证一定会存在有这样的曲面。事实上，1970年代末到1980年代初，Thurston促使三维流形的研究者们意识到三维流形中包含有嵌入的不可用压缩的曲面（即Haken流形）只是特例，远非一般的规则。

 

为了弄清楚对非Haken流形如何证明几何化猜想，数学家们被整整难住了有20多年。最终，Perelman于2002年宣布了一个证明，但该证明所依赖的 工具远远不同于Thurston的大多数追随者的所使用的工具。（Perelman的证明解决了这个有一个世纪之久的庞加莱猜想，这项成就使得克莱研究所 于2010年决定颁发给他一个一百万奖金的数学奖---但是他由于各种复杂的原因马上予以拒绝了。）

 

Perelman证明标志性地完成了Thurston的把拓扑和几何统一起来的梦想。现在每个三维流形的拓扑问题都有一个对应的几何问题，或者相反。但是Perelman的定理并没有解答像“什么样的三维流形可以存在的”这样重要的问题。

 

在对分类紧致的二维流形过程中，数学家们不仅证明了每个曲面上都可以赋予一个几何结构，而且还能列出来了所有可能的二维流形。但是在三维，这样完整的列表一直缺失着。

 

八种三维几何中的7种，除去双曲几何，都已经得到了完整地理解。甚至在Perelman的工作之前，三维拓扑学家已经把可以赋予这7种几何中的一种的三维流形研究地很清楚了。这样的流形是相对比较简单，并且数量上也比较少。

 

正如同曲面的情形一样，大多数三维流形事实上是双曲的。数学家们对三维的双曲流形的理解远远贫乏于其上可以赋予其他7种几何的三维流形。“在八种几何中，双曲流形是最神秘而且也是最丰富的一类”，巴黎六大的Nicolas Bergeron这样说。

 

Perelman的结果也告诉数学家们双曲流形确实是最后的堡垒---唯一的还需要透彻地理解的一类三维流形。但是他的结果并没有告诉大家这些三维流形具体是什么样子的。

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