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经典论文:康普顿散射证明了相对论关系吗? 精选

已有 3861 次阅读 2022-6-16 21:02 |系统分类:科普集锦

康普顿(Arthur Holly Compton,1892年9月10日—1962年3月15日)散射考虑的是高能$\gamma$光子和电子的散射过程,并确定性的证明了作为波的光子存在动量。用粒子物理的语言为$\gamma+e^- \rightarrow \gamma + e^-$。如果仔细阅读原始论文,我们发现作者的处理还涉及到电子的相对论性,即在电子能量的计算时采用了$E = \sqrt{p_e^2 c^2 + m^2 c^4}$(其中$m$为静止质量)。在康普顿的原始论文中,光子的能量为几十 keV,目前的很多大学物理实验,也是采用这个值。本文的问题是,这个实验是否一石二鸟,同时证明了光子的动量以及电子的相对论效应?如果没有,那么如果要观察到明显的相对论效应,需要多大的能量?


(康普顿散射原理图,来自康普顿1923年原始论文)


康普顿的论文写得非常漂亮,里面的分析非常仔细,堪称实验论文的典范。他考虑下面的图所对应的散射,假设一个$\gamma$光子(波长0.730 A, 能量为17 keV)和一个静止的电子散射,那么它们的动量守恒和能量守恒要求 \begin{equation} h\nu_0 + mc^2 = h\nu_\theta + \sqrt{p_e^2 c^2 + m^2 c^4}, \quad {\bf p} = {\bf p}_e + {\bf p}_\theta. \end{equation}第二个公式取平方,可以得到\begin{equation} p_e^2 = p^2 + p_\theta^2 - 2p p_\theta \cos(\theta). \end{equation}

它可以严格求解,假设入射光子波长为$\lambda$, 出射波长为$\lambda_\theta$, 那么有下面的严格结论\begin{equation}  \lambda_\theta - \lambda = {h \over mc} (1 - \cos(\theta)). \end{equation}

这是一个非常漂亮的结果,它严格,简单,堪称完美。基于这个结论,我们经常将系数$\lambda_c = h/mc$定义为康普顿长度。利用$mc^2 = 0.511$ MeV, $hc = 1.24$ eV$\cdot$ $\mu$m, 我们有$\lambda_c= 0.024 A = 0.0024$ nm(我们定义$A$为Angestrom,和论文一致)。光子和电子散射的时候,角度可以为任意值。利用实验结果,$\lambda = 0.730$ A,  $\lambda_\theta = 0.752$ A,那么传递的能量为500 eV,这是一个很小的能量,电子完全可以用经典方程描述。

那么,接下来,如果用经典动量描述,结果会怎么样? 或者在实验上$m$足够大,这个表达式会怎么有? 显然,相对论结果是严格的,所以康普顿的结论是严格的。我们计算

\begin{equation} h\nu

 = h\nu_\theta + p_e^2/2m, \quad {\bf p} = {\bf p}_e + {\bf p}_\theta. \end{equation}利用同样的方法,我们得到\begin{equation} (p_\theta - p) c = (p_\theta - p)^2/2m + 2p p_\theta(1-\cos(\theta))/2m. \end{equation} 第二项为传给电子的动能,如果它可以忽略不计,那么有 $(p_\theta - p) c =  2p p_\theta(1- \cos(\theta))/2m$, 这个表达式又给出了康普顿公式。这个结果对应$m c^2 \gg h\nu$。所以,康普顿的实验中,不用相对论方程,也可以得到他的结论,只是此时不是严格的;但是这个误差无法在实验上分辨(见康普顿实验误差约为10%)。


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($\gamma$光来自钼(Mo)的K$_\alpha$系,其波长为0.708 A,波长改变很小)


要看到电子的明显的相对论效应,我们希望传递的能量足够大。为此,我们假设传递的动能为50 keV,它是目前传递能量的100倍,那么我们要求(单位 eV)\begin{equation} 1.24 \cdot 10^4/\lambda - 1.24 \cdot 10^4/(\lambda + 0.024) = 50000. \end{equation} 它给出$\lambda = 0.07$ A。此时,假设

\begin{equation} mv^2/2 = 50 \text{ keV}, \quad m c^2 = 0.511 \text{ MeV}. \end{equation} 我们可以得到$v = 0.44c$。此时电子的速度已经接近光速,它的相对论效应就很明显,不能忽略了。

从这些分析可以看出,康普顿的实验中,暂时还没有办法完全分辨电子的相对论效应,尽管作者在分析的时候采用了相对论理论。康普顿的实验,只能证明光子的粒子性。我们假设动量是粒子所特有的性质,那么康普顿的实验,非常清楚的证明了光子的动量和波长的关系$p = h/\lambda$。同时,光子和电子的散射满足动量守恒和能量守恒。

爱因斯坦在很多场合盛赞康普顿的实验,他非常清晰的同时阐释了光子的波动性和粒子性。在量子力学的黎明,这是一道划破黑暗的亮光,很快,一些新的实验证明了电子的波动性,再过一年,德布罗意博士毕业,再过不久,就迎来了薛定谔方程的诞生。我们相信这个实验对德布罗意的物质波思想也是非常大的启发。如果追溯历史,我们发现,早在1904年,就有科学家发现$\gamma$ 射线穿过固体材料波长发生改变的现象,但是他们忽略了这个细节的分析。在1913年 - 1920年间,格雷在$\gamma$射线和$X$射线中都发现了类似现象,他也同样错过了。只有康普顿仔细分析了这个问题,并证明了这个现象。仔细阅读康普顿的论文,我们发现他坚实的理论功底和分析能力,可能是他超越前人取得成功的关键。尽管在这个理论提出来后也曾经遭受质疑,但是很快就得到了大家的承认,康普顿也于1927年和威尔逊一起获得了Nobel物理学奖,时年35岁。(杨振宁先生也是在35岁获奖。)

康普顿散射在X射线成像方面发挥了重要作用。我们知道光子是有便振的,在散射过程中,光子便振的改变也是一个重要的问题。我们不再讨论,历史上应该有很多人研究过这个问题,未来也会有人继续研究它们。

(图片来自康普顿原始论文)


后记: 偶尔翻看《原子物理》教材,发现对康普顿散射介绍较少,我觉得不应该,特定找来了康普顿1923年发表在Phys. Rev.上的原始论文,总结这篇文章的主要结果,并提出了这个问题。我关注康普顿,还有另外一个原因。康普顿是美国人,他于1919 - 1920年在卡文迪许实验室学习,受到汤姆逊和卢瑟福的指导,从事$\gamma$射线散射工作。用时髦的话说,当时的美国人,都需要到英国留学。此时,美国的经济已经世界第一,但科研还不如欧洲。在量子力学发展早期,一些美国人在欧洲留学,最终返回美国,并将量子力学扩散到了美国。1921年,吴有训留学美国,并在康普顿散射方面做了很多重要的工作。同时期,杨武之先生也于1923—1928年赴美国留学,并在芝加哥大学获硕士和博士学位。他们是中国最早的一批留美博士。他们后来回国,为中国的教育事业做出了巨大贡献。


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图片来自德布罗意1924年的原始论文

补充材料: 1924年德布罗意的论文“A tentative theory of light quanta"中第一段话就提到爱因斯坦的光电效应以及康普顿的散射实验。所以,德布罗意也意识到了康普顿实验的价值,并受到了这个实验的启发。在这篇论文中,德布罗意假设光子有一个很小的质量$m_0$,光子的能量可以用相对论理论处理,得到\begin{equation}h\nu = m_0 c^2/\sqrt{1-\beta^2}. \end{equation} 作者估计这个质量为$10^{-50}$ 克。这个理论,目前看起来都是不正确的。在一片混乱中,一个严格的,正确的实验,会发挥重要的作用。当然,也许有人不同意这个观点,我们可以认为光子是质量趋于零、速度趋于光速的粒子。无论如何,德布罗意的思想是正确的。我们不能要求一个人既看破迷雾,而且能看清楚每个细节。



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