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谈人工智能24:悖论的克星:同质律

已有 1582 次阅读 2022-1-19 13:24 |系统分类:教学心得

学:学生,教:教师,李:李晓榕

李:很高兴你们有所收获。不过,我觉得,下面说的更重要,且是原创。

  无穷级数的数学本质就是其部分和序列的“趋限”。我定义一个序列的“趋限”为序列趋于无穷时的取值,若所有趋限都有限且唯一,则趋限即通常的极限。一个无穷级数可以有多种形式的部分和,它们的趋限未必相同,且每一个部分和序列可有多个趋限。早先说过,对于无穷级数,收敛 = 敛一(即收敛到唯一值)。更精细地说,级数收敛 = 其所有部分和都有相同的极限(即所有趋限都有限且唯一),即它有单一本质;级数发散 = 部分和的极限不存在(即趋限不全相等或不全存在),即它的本质不单一。举例来说,对于无穷级数X=1-1+1-1+1-1+……,大数学家欧拉推理如下:X=1-(1-1+1-1+1-1+……)=1-X, 即X=1-X,故X=1/2。这十分荒谬,因为:X可以等于0(因为1-1+1-1+1-1……=(1-1)+(1-1)+(1-1)……=0),也可以等于1(因为1-1+1-1+1-1+1……=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)……=1),却不可能等于1/2——整数的加减怎么会得到分数呢?然而,其他一些数学家(包括微积分的研创者莱布尼兹)也得到了X=1/2的相同结果。还有X=1/3, X=1/4, …, X=1/n(任意正整数n)等无数其他结果。这些正确逻辑、严谨推理所得结果全错了,因为其对象——发散级数X——有多重本质,所以不能保证逻辑后承的正确性。数学史上大大小小的数学家一两个世纪苦心孤诣研究的惨痛教训表明,把逻辑正确无误地用于发散级数,会得到大谬不然的结果。错误的根源在于忽视一个至关重要的事实:逻辑仅适用于单一本质的对象(即无歧纯一的对象,在此就是收敛级数)。

  我认为,逻辑体系应增补一个“单一本质律”(单质律),它要求逻辑对象限于某一本质。这至少有如下多方面的理由。

  第一,逻辑真正适用的对象其实历来都只能是对象的某个单一本质,只不过这一点从未被明确无误地正式提出来。单质律把这一事实明确下来,能免除大量混乱和困惑,它的增补大大有利于正确运用逻辑。悖论大都违反单质律。它们之所以是悖论,正是因为违反的方式十分隐秘,未被察觉。因此可以说,单质律能“克”(克服、克复、克制、攻克)悖论。

  举例来说,确定集合A的元素总数(即A的“势”)|A|,有两大方法:①日常所用的“计数法”:遍所有元素以求得个数。②现代数学所用的“配对法”:若A与某个集合B存在元素间的一一对应关系,则|A| = |B|,因而可由|B|得出|A|。可见,|A|这个数学对象有两种本质:计数和配对。它们各有其重:①计数是数学之母,孕育并生成了数学之本——自然数系;②集合论是现代数学的基础,其灵魂是配对法。对于有限集,此二本质从不冲突,而对于无限集则可能冲突。如下著名的伽利略悖论的变种就是一例。令:A =偶数集,B =整数集。无疑,B包含A的所有元素,且有A所无的元素(奇数),所以,①BA的元素多(|B|>|A|)。可是,将B的每一元素都乘以2,则得A,即AB的元素之间存在一一对应关系,所以,②AB的元素总数相同(|B|=|A|)。①和②矛盾。其根源在于混用了集合元素总数的计数和配对这两种本质,因而违反单质律。多亏了这种悖论的披露,否则混用这两种本质之后,人们还信心满满、茫然不知其错1。与此例密切相关但不同,“总体等于部分”(例如上述B等于其真子集A),对有限集不可能成立,对无限集则可能成立。这也根植于违背单质律:此处的“等于”基于配对法,而“全体”与“部分”相对关系的确立却与计数法一脉相通;任何等于“总体”的所谓“部分”在配对意义上并非名副其实的部分。例如,在配对意义上,上述A并非B的“部分”,区间(0,1)并非区间(0,10)的“部分”。再者,尽管康托尔集合论的基石是配对法,可是仍然有大量ω+1,ω+2,2ω之类的表述,其中ω= |B|。而这类表述源于计数法,因而容易引起混乱,带来悖论。既然配对法是灵魂,照理最好仅限于使用基于配对法的表述,以免带来后续的混乱。

  再说前面说过的莫氏带。其反常本质是:局部都有两面,整体却只有一面。悖论“它到底有一面还是两面?”,说到底还是因为违背了单质律:悖论所依赖的局部之“面”和整体之“面”的本质不同,整体之“面”的本质依赖“在一面上正常走不会走到另一面”这一特性。对于良性环带,这两种“面”的本质含义不会引起矛盾。莫氏带的别名“单侧曲面”明显偏向整体之“面”,而不顾局部之“面”。

  第二,从表面上看,单质律的要求会缩小逻辑的使用范围,其实不然。首先,撇开单质律,对一个本质多重的对象使用逻辑,会导致悖论,带来混乱,违背使用逻辑的初衷——追求清晰可靠的结果。能确保结果正确的,只有在逻辑始终不混淆对象的多重本质,只用于其某个单一本质时(即单质律有效时)。数学的无歧纯一要求,其实就是单质律的要求:严格精确地定义一个数学对象,其全部目的就在于只关注此对象的这一本质,无视、不考虑所有其他方面。其次,如上所述,回避悖论的一大策略是回避闭环,而其实良性闭环并不会导致悖论。单质律允许闭环,因而能解除对良性闭环的限制,扩大允许使用逻辑的疆域。它不会伤及无辜——良性闭环,却能拒斥莫氏带,比如莫氏带型自指所导致的悖论,因为莫氏带上的一面,作为逻辑对象,有双重本质A1.png

  第三,对一个本质多重的对象,带单质律的逻辑仍然适用于其中任一单一本质,只考虑这一本质,绝不涉及其他本质。比如,维纳积分、伊藤积分等随机积分,就是在原本发散的积分的多重本质中,分离出感兴趣的单一本质。再如,潜无穷的本质是“此外永有”的“开”性、过程性,实无穷的本质是“此外全无”的“闭”性、完成性。它们是本质不同的两个概念,是有些无穷对象(比如“自然数”这个对象)的双重本质,在考虑时,不可混淆,应分别考虑。

  在此意义上,单质律与同一律结合可以说是同一律的进一步细化,它使得同一律的应用更明确:对于一个对象,要保证逻辑的正确性,只能始终限于考虑这一对象的一个本质。借用“偷换概念”“转移话题”的说法,单质律要求在同一律(即同一对象)的基础上,更进一步,禁止“转换本质”。这样,

同一律和单质律的结合,可称为“同质律”:逻辑只能限于对付同一思维对象的同一本质。

比如对一个发散级数A,只能考虑其某一收敛(敛一)的局部和B(同质律),而不是A(同一律)。在隐性地假设只考虑对象的同一本质时,同质律退化为同一律,在特别强调只能限于考虑对象的某一本质时,它退化为单质律。

_____________________________

1. 按配对法得出的结论“直线与三维欧氏空间具有同样多的点”,之所以如此违背直觉,难以接受,恐怕也是因为人们的直觉对计数含义的深层依赖。当然,人们直觉中对连续性的依赖恐怕也是一大原因。比如,一个二维区域无法连续且一对一地映入一个三维区域,尽管两个三维区域之间能如此映射。


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