这两天科学网就 GPS 是否依赖于相对论（狭义与广义）才能运转进行了激烈的辩论。参见这篇《剪不断，理还乱 。。。》。我来给一个简单一点的总结。

我现在手里拿着一个 GPS导航器（简称导航器），打开之后，它给出了我现在在地球上的位置（经纬度与高度），这是它根据接收到的GPS卫星信号算出来的。那么这个卫星信号里面有什么信息呢？一是卫星本身的轨道参数，二是发出这个信号时卫星上时钟的时间。卫星上这个时钟是所谓原子钟，是非常精确的。从卫星轨道与卫星发出信号时间，导航器的程序 可以算出发射这个信号时的卫星的位置。导航器本身也有一个时钟，因此还有一个数据： 导航器根据自己的时钟收到卫星信号的时间。导航器的时钟当然不是原子钟，而且也没有跟卫星上的时钟对准。比如说，卫星上的时钟可能指向上午9点，但导航器上的时钟可能指向10点，对准差达到了一个小时。显然，导航器时钟与卫星时钟的对准差是一个随机的未知数。而导航器的位置坐标是另外三个未知数。初中数学告诉我们，一般来说，要有四个方程才能解出四个未知数。所以，我们需要四颗卫星的GPS数据才能算出自己的位置。

我在《电影Interstellar中的引力延时》一文中提到引力场不同地方时间流逝速度不同，并进行了计算。类似的计算得出在GPS卫星高度（约2万公里），用于引力延时，卫星上时间流逝比地面快（比例） $\frac{GM_e}{c^2 R_e^2} \frac{(R_s -R_e) R_e}{R_s} = \frac{g}{c^2} \frac{(R_s -R_e) R_e}{R_s} \approx 5.3 \times 10^{-10}$  。另外，根据狭义相对论，从静止观察者角度，运动时钟要慢些。卫星速度约每秒 4000 米 （ $\sqrt{9.8 * 10^3 *6300^2/26300}$ ）。则运动学效应导致的卫星上时钟变慢比例为  $1-\sqrt{1-v^2/c^2} \approx 8.9 \times 10^{-11}$ 。因此，每天24小时累计卫星上时钟相对于地面来说，应该快 $(5.3 \times 10^{-10} - 8.9\times 10^{-11} ) \times 24 \times 3600$ ，也就是约为 38微秒。这个38微妙的差别将被包括在天-地时钟的对准误差中。初看起来这似乎没有问题。