yuedongxiao的个人博客分享 http://blog.sciencenet.cn/u/yuedongxiao

博文

风车叶片为什么不是越大越好--风力发电机的转换率问题

已有 3982 次阅读 2021-3-8 09:11 |个人分类:物理|系统分类:科普集锦

最近,绿色能源议题非常红火,人类工业活动导致的气候变迁引起了广泛忧虑,汽车电力化似乎已经成了必然的趋势,不通过燃烧化石燃料(如天然气、石油、煤炭)而获取电能成为大家关注的重点。昨天,在大学同学群中产生了一个问题,为什么风力发电的风车叶片不大呢?叶片做大点是不是能从风中提取更多的能量呢?下面是我对这个问题的分析。


“假设风通过叶片后速度降为零,那么就等同于撞在墙上,后面的风过不去了。但风车如果叶片宽度为零,则等于没有风车,能量转换为零。可见中间应该有个最大值---两个极端,一块整板与没有风车,能量转换都是零。”


随后我给出了下面的计算。物理机制是,流动的空气(风)吹在风车叶片上,推动叶片,而风本身减速,这个空气动能的减少被转换为电能。设打在叶片上的空气速度为 v_in,入射有效面积为 A_in, 空气密度为 d,入射空气通过风车叶片后速度为 v_out,流动截面积为 A_out。单位时间内通过一个截面的空气体积是 A*v。套用动能公式  1/2mv^2. 空气动能在通过风车后单位时间内减少为:


$ P = \frac{1}{2} d \ A_i  {v_i} \left ( {v_i}^2 - {v_o}^2 \right) $


但是,除了能量守恒还有质量守恒,入射空气质量必须等于通过的空气质量,因此我们有:


$d \ A_i \ v_i = d \ A_o \ v_o $


也就是


 $v_o = \frac{A_o}{A_i} v_i$


将这个关系代入 P 的公式,我们得到 


$P = \frac{1}{2} d \ A_i  {v_i} \left ( {v_i}^2 - {v_o}^2 \right)= \frac{1}{2} d \ A_i v_i \left( {v_i}^2 - (A_i/A_o)^2 \ {v_i}^2\right)\\ = \frac{1}{2} d \ A_i {v_i}^3 \left(1 -(\frac{A_i}{A_o})^2\right)$


观察这个公式与 A_i 的关系,我们看出点奥妙了。其中一项随着A_i 增大,另外一个相乘的却是随之减少。A_i 如果是零,P 是零。但如果A_i 等于 A_o ,P也是零。两头是零,中间不是零,应该有个最大值。"空气动能转换为电能,根据能量守恒,电能最多是空气动能的减少,从这个角度,风速在通过叶片后减速越多,获取电能越多。但是,质量守恒决定了能够通过叶片的空气质量,空气通过叶片后速度越快,通过质量越大。具体的函数 是 x(x^2-1)". 为了简化公式,我们引入一个面积比例 b = A_i/A_o,P 公式于是成为:


$P = \frac{1}{2} d \ A_i {v_i}^3 \left(1 -(\frac{A_i}{A_o})^2\right) = \frac{1}{2} d A_o {v_i}^3\  b (1-b^2)$


上面公式是单位时间风车的动能变化, d 是空气密度,v_i 是入射风速,A_o 最大是风车叶片扫过的圆面积,b 是入射面积比例。下面计算 f= b(1-b^2) 的极值。

 $df/db = 1-b^2 - 2b^2=0$


$3b^2 =1 \\ b = 1/\sqrt{3}$


最大发电功率为:

$P_{max} = P|_{b=1/\sqrt{3}} = \frac{1}{2} d A_o {v_i}^3 [1/\sqrt{3} (1-1/3)] = \frac{1}{2} d A_o {v_i}^3 \frac{2}{3\sqrt{3}}$


上面 $\frac{1}{2} d A_o {v_i}^3 $ 就是入射空气的功率,而最大转换率 为 $\frac{2}{3\sqrt{3}} \approx 38.4\%$


可见,风车最多能把约 38.4% 的入射空气动能转换为电能。




https://wap.sciencenet.cn/blog-684007-1275516.html

上一篇:比特币的惊人电能消耗
下一篇:新疆巴音布鲁克的日影

4 魏焱明 王安良 季明烁 杨正瓴

该博文允许注册用户评论 请点击登录 评论 (1 个评论)

数据加载中...

Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备07017567号-12 )

GMT+8, 2022-5-28 22:19

Powered by ScienceNet.cn

Copyright © 2007- 中国科学报社

返回顶部