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道生一之拉格朗日
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整个现代物理的基础似乎就是拉格朗日量。从理论物理角度，拉格朗日量就是这个道生一的“1”。
一，这是一个数字。
为了理解这一点，我们需要跳出绝对时间的束缚，从正确的空时观念开始。这就是爱因斯坦的狭义相对论的空时观。注意，狭义相对论只是空时的几何理论，或者说只是坐标变换的运动学，没有任何动力学。理论物理的问题是，怎么构造出一个动力学理论。
狭义相对论要求我们的动力学理论用不变的形式表达，也就是需要一个不变的物理量。什么是最简单的不变量？ 1！
在平直空间、直角坐标下，不变间隔为：
$ds^2 = dt^2 - dx^2-dy^2-dz^2 = eta_{munu}dx^{mu}dx^{nu}$
一般来说，
$ds^2 =g_{munu}dx^{mu}dx^{nu}$
对于自由粒子，我们期待其运动路径最短，因此我们可以写下这样的作用量：
$S= m int d s$
或者，$S=mint dtau sqrt{g_{munu} frac{dx^{mu}}{dtau} frac{dx^nu}{dtau}} $ 。
其中 $tau$ 是一个标量参量。
怎么让上面的S为极值呢？在数学里这要用到所谓变分法、泛函导数之类，但有时候与其记住那些概念+规则，不如假装什么也不知道，楞算出的结果还令人踏实些。
考虑下面的变化：
$x= x +delta x$
$delta S=mint dtau sqrt{g_{munu} (x+delta x) frac{d(x+delta x)^{mu}}{dtau} frac{d(x+delta x)^nu}{dtau}} -S $
$delta S=mint dtau sqrt{(g_{munu} +frac{ partial {g_{munu}}}{partial x^{alpha}} delta x^alpha)[frac{dx^mu}{dtau}+frac{ddelta x^mu}{dtau}][frac{dx^nu}{dtau}+frac{ddelta x^nu}{dtau}]} -S\=mintfrac{dtau}{2sqrt{...}}left( g_{munu} frac{dx^mu}{dtau} frac{ddelta x^nu}{dtau}+ g_{munu} frac{ddelta x^mu}{dtau} frac{dx^nu}{dtau} + frac{ partial {g_{munu}}}{partial x^{alpha}} delta x^alpha frac{dx^mu}{dtau}frac{dx^nu}{dtau}right)\=m/2 int dtau delta x^alpha left( - frac{d}{dtau}[g_{mualpha} frac{dx^mu}{dtau}]- frac{d}{dtau} [g_{alphanu}frac{d x^nu}{dtau}]+frac{ partial {g_{munu}}}{partial x^{alpha}} frac{dx^mu}{dtau}frac{dx^nu}{dtau}right)\=m/2 int d tau delta x^alphaleft( -2 frac{d}{dtau} [g_{alphanu}frac{d x^nu}{dtau}] + frac{ partial {g_{munu}}}{partial x^{alpha}} frac{dx^mu}{dtau}frac{dx^nu}{dtau} right)$
读者可能问，上面分母里那个难看的平方根哪里去了。由于 $dtau$是任意的，我们就让它等于 $ds$, 于是平方根内 $L=1$。另外我们还用到了 d(uv) = du v + u dv （integrate by parts）。另外， 不要被那些上标下标弄糊涂了，都是机械配对。由此，我们得出运动方程:
$ -2 frac{d}{dtau} left[g_{alphanu}frac{d x^nu}{dtau}right] + frac{ partial {g_{munu}}}{partial x^{alpha}} frac{dx^mu}{dtau}frac{dx^nu}{dtau} =0$
如果上面的 g 与坐标无关，我们得到
$frac{d^2x^mu}{dtau^2}=0$
我们从L=1推出了牛顿第一定律。
如果 g 与坐标有关，继续
$frac{d}{dtau} left[g_{alphanu}frac{d x^nu}{dtau}right] =g_{alphanu}frac{d^2x^nu}{dtau^2} + frac{partial g_{alphanu}}{partial x^mu} frac{dx^mu}{d tau}frac{d x^nu}{dtau}$
因此，
$g_{alphanu}frac{d^2x^nu}{dtau^2} + frac{partial g_{alphanu}}{partial x^mu} frac{dx^mu}{d tau}frac{d x^nu}{dtau} - frac{1}{2}frac{ partial {g_{munu}}}{partial x^{alpha}} frac{dx^mu}{dtau}frac{dx^nu}{dtau} =0$
$g_{alphanu}frac{d^2x^nu}{dtau^2} + left( frac{partial g_{alphanu}}{partial x^mu} - frac{1}{2}frac{ partial {g_{munu}}}{partial x^{alpha}}right) frac{dx^mu}{dtau}frac{dx^nu}{dtau} =0$
$g^{alphabeta} times left [g_{alphanu}frac{d^2x^nu}{dtau^2} + left( frac{partial g_{alphanu}}{partial x^mu} - frac{1}{2}frac{ partial {g_{munu}}}{partial x^{alpha}}right) frac{dx^mu}{dtau}frac{dx^nu}{dtau} right]=0\frac{d^2x^beta}{dtau^2} + g^{alphabeta}left( frac{partial g_{alphanu}}{partial x^mu} - frac{1}{2}frac{ partial {g_{munu}}}{partial x^{alpha}}right)frac{dx^mu}{dtau}frac{dx^nu}{dtau} =0$
给圆括号里的那个东东一个单独的符号 $Gamma$，我们有
$frac{d^2x^beta}{dtau^2} + Gamma^beta_{munu} frac{dx^mu}{dtau}frac{dx^nu}{dtau} =0$
这叫做测地线方程。如果我们知道了 g ，也就知道了物体的运动。比如说，如果我们知道黑洞外的 g，物体的的运动就可以计算了。上面的式子看起来确实繁琐，但用 Mathematica 编程表达也就是几十行代码。
令拉格朗日等于1，我们得到了不少物理。再进一步，我们知道还可以有不同的不变量，拉格朗日可以是一个矢量与位置矢量的收缩 $A_mu dx^mu$ ，从这个就可以得到电磁场的方程。
怎么构造引力场本身的拉格朗日呢？这个问题就复杂多了，它困扰了爱因斯坦以及庞加勒等人多年。
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