摘要

流形上的切向量是微分几何中的重要概念。流形上的切向量定义为将流形上的光滑函数映为实数的量，即若切向量为v，f为定义在流形上的光滑函数，则v(f)为实数。直观来讲，切向量的这个定义与常见的欧氏空间中向量的定义有很大区别。本文试从方向导数（梯度）概念解析切向量的定义，以便理解并加深认识。

关键词 微分几何 differential geometry;流形 manifolds;切向量 tangent vectors；梯度 gradient

目录

0 引言... 2

1 函数与梯度... 2

1.1 函数... 2

1.2 梯度 Gradient. 3

2欧氏空间中的切向量... 4

2.1单参曲线的切向量... 4

2.2等值曲面上曲线的切向量... 4

3方向导数（Directional Derivatives）... 6

4 流形上的切向量... 7

5 后记... 8

参考文献... 9