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五次方程到底有没有根式解？
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五次方程到底有没有根式解？
写了一篇《解方程的故事》，引起争论，有人举出吴中祥老师的文章《任意n次不可约方程的根式解》为例，认为我说“五次方程没有根式解”错了。吴老师也以讨论的态度邀我读他的文章，因此我认真读了一下。本文就事论事，如对吴老师有冒犯，请原谅。
这篇文章显然是对数学不熟悉的人写的，错误甚多。仅举一二最基本的错误。
(1)当解五次方程时，文中定义$a=(-1-i*\sqrt{3})/2$, $b=(-1-i*\sqrt{3})/2$。然后引入待定参数$z_1$, $z_2$, $z_3$, $z_4$，并设
$y_1=z_1+z_2+z_3+z_4$,
$y_2=az_1+az_2+bz_3+bz_4$,
$y_3=az_1+bz_2+az_3+bz_4$,
$y_4=bz_1+az_2+bz_3+az_4$,
$y_5=bz_1+az_2+bz_3+az_4$.
这么设是否可以？换句话说，是不是任何一个五次方程（无四次方项）的根都可以由适当选择$z_1$, $z_2$, $z_3$, $z_4$将其表示出来？考查$y^5-y^3=0$。它的解是$\{1,-1,0,0,0\}$。将其代入上述方程，易知，系数阵秩为$3$，增广阵秩为$4$，无解。其实，从测度论可知，能表成上述形式的方程（解）是零测集，也就是说，几乎所有五次方程的解都不能表示成这种形式。
(2)吴建议用消元法解$z_1$, $z_2$, $z_3$, $z_4$。大家都知道，两个二元二次方程，如用消元法，最好（能分解时）是变成四次，如果不能分解，解出$x$包括根号$y$的函数，要变成多项式形式，还要升高次数。就算连续消元能成功，解到$z_4$时是几次方程？如何保证它有根式解？
还有一些很可笑的地方，例如说：“当方程的整个求解过程中添加根式的最大指数$n^*>4$时，一般不可约代数方程没有根式解。”这是可笑的，跟Galois理论毫无关系。考虑不可约可解方程$x^5=2$，一个解是$x=2^{1/5}$。不添加五次根式能行吗？
因为在数学院，接触到的“民数”比较多，他们许多人都很善良、执着。但他们的共同点是，缺乏近代数学的训练，逻辑与推理混乱。最近有两位网友，做哥德巴赫猜想，投稿被编辑部不审而退，征求我的建议。我说：“如果你不是职业数学家，忘了哥德巴赫猜想，该干么干么。”近代数学已经发展到这种程度，没有专门训练就无法跟踪其逻辑与推理。对纯粹数学的难题，我不行，你们也不行，还是把它们留给纯粹数学家吧。
https://wap.sciencenet.cn/blog-660333-669483.html
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