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称球问题的两种方法 精选

已有 10577 次阅读 2013-2-1 04:00 |个人分类:社交网络|系统分类:科研笔记| 称球问题, 3次秤球, 次品球

       130日,科学网的应行仁老师发表博文《称球问题》,提出智力思考堆栈(Call Stack)的深度概念,获编辑部青睐,精选置顶。一时间科学网众博主兴趣多多,到目前为止共有23位博主推荐,50个评论,3592人次访问。

 

    称球问题的源头还是科普才女,张天老师的杰作:有十三个球,其中十二个重量相同,只有一个次品,不知是轻了还是重了。请用天平秤三次,将这个次品找出来。本来应老师已给出基本的称法,大家深入理解就是了,但不想有两位较真的博主硬是要从命题本身来否定这个练脑小题。

 

    数学行家李世春老师看到后,以极大的兴趣另发博文《8个球就可以证明十三球问题(称球问题)无解》,特别作出结论:无论怎么摆放球,称量3次不可能从13个球中找到那个次品。

 

    物理学家戴德昌老师也专门撰文,认为此问题需要穷举法和运气来解决,调侃道《称球问题是忽悠小朋友》,认为“哥哥”,的问题错了。

 

    本文给出高中生Danilo Li (柱柱) 和巴西利亚大学博士生郑建亚称球问题的的两种解法。Danilo Li的方法共列出20种可能通过3次秤球找到次品。郑建亚的的解法,共有13种可能称法找到次品。列出两种算法的目的在于说明称球问题应该有解,而且还有多种方法。

 

    本文应着张天蓉老师的初衷,让孩子和学生们练练脑。文中的表述仅以秤3次过程中相关的逻辑关系,找出次品为目的,没有任何完备性理论证明和数学模式化。期待着应行仁老师下一篇文章对此问题的构造性证明和新的提示。敬请应行仁老师、李世春老师和戴德昌老师等科学网的众博友指导访问。


    一、Danilo Li的解法

    1. 四四分法的平衡情况

    第一次秤:

    A(4)―――――――――――――B(4)

                                

    上图中A表示天平的左边,B表示天平的右边。括号内的数字表示天平该边托盘上放置的球的数目。

 

    1.0: 两边平衡

    在A 边保留3个球

    从剩余的5个球里面拿出3个放B边。

平衡情况

    第二次秤:

    A(3)―――――――――――――B(3)

                                 

    可分为两种情况:

    1.1: 两边平衡

    在A边保留1个球,从剩余的2个球里面拿出1个放B边。

   

   第三次秤:

    A(1)―――――――――――――B(1)

                                   

    1.1.1: 两边平衡

    从剩余的1个球是次品。(1种可能)

    1.1.2: 两边不平衡

    B 边的球是次品。(2种可能)

 

    1.2: 两边不平衡

    B 边的3个有次品

    1.2.1 B 边朝下,说明次品更重

    B 保留1个,从B边拿下的两个球任意一个放到A

 

    第三次秤:

    A(1)―――――――――――――B(1)

                               

    三种情况:

    1.2.1.1 A边朝下,则是 A边这个球是次品;(3种可能)

    1.2.1.2 B边朝下,则是 B边这个球是次品;(4种可能)

    1.2.1.3 两边平衡, 则是原B边第3个球是次品。(5种可能)

 

    2. 四四分法的不平衡情况

    由于该情况较复杂,下面在称球的过程中,加上各球的编号,分别放在天平两边托盘上面。

 

    第一次秤:

    1,2,3,4                                           5,6,7,8

      A(4)―――――――――――――B(4)

                                    

    剩下5个球:910111213


不平衡情况 - A边朝下,B边朝上

 

    情况 2.0: 两边不平衡

    因为第一次秤时的不平衡,次品应在1234 号球或5678 号球中。

 

    第二次秤:

    1,2,5,6,7                               9,10,11,12,13

    A(5)―――――――――――――B(5)

                                   

    将B 3个球:567号球放到A边。把原A边的球里拿出2个:34号球。

 

    2.1 两边平衡

    因为平衡,已知次品球在34,或8号球中。

 

    第三次秤:

      3,8                                             9,10

    A(2)―――――――――――――B(2)

                                   

    2.1.1 两边平衡

    根据第二次秤时的平衡结果,在此情况下只有4号球是次品。(6种可能)

 

    2.1.2 两边不平衡

    在此情况下38号球会是次品。

    2.1.2.1 A边朝下

    如果第一次秤,A边朝下, 3号球是次品。(7种可能)

    如果第一次秤,B边朝下, 8号球是次品。(8种可能)

    2.1.2.2 A边朝上

    如果第一次秤,A边朝下, 8号球是次品。(9种可能)

    如果第一次秤,B边朝下, 3号球是次品。(10种可能)

 

    2.2 两边不平衡

    因为不平衡,已知次品球在12567号球之中。

 

    2.2.1 第一次秤A边朝下且第二次秤A边还是朝下

    12号球会是次品。

 

    第三次秤:

       1                                             2

     A(1)―――――――――――――B(1)

                                  

    2.2.1.1 A边朝下

    1球是次品。(11种可能)

    2.2.1.2 B边朝下

    2球是次品。(12种可能)

 

    2.2.2 第一次秤A边朝下且第二次秤A边朝上

    567球是次品。

 

    第三次秤:

       5                                                 6

    A(1)―――――――――――――B(1)

                                  

    2.2.2.1 A边朝下

    6号球是次品。(13种可能)

 

    2.2.2.2 B边朝下

    5号球是次品。(14种可能)

 

    2.2.2.3 两边平衡

    7号球是次品。(15种可能)

 

    2.2.3 第一次秤A边朝上且第二次秤A边朝下

    567号球是次品。

 

    第三次秤:

       5                                             6

    A(1)―――――――――――――B(1)

                                

    2.2.3.1 A边朝下

    5号球是次品。(16种可能)

 

    2.2.3.2 B边朝下

    6号球是次品。(17种可能)

 

    2.2.3.3 两边平衡

    7号球是次品。(18种可能)

 

    2.2.4 第一次秤A边朝上且第二次秤A边还是朝上

 

    第三次秤:

      1                                              2

    A(1)―――――――――――――B(1)

                              

    2.2.4.1 A边朝下

    2号球是次品。(19种可能)

 

    2.2.4.2 B边朝下

    1号球是次品。(20种可能)

 

    二、郑建亚的解法

    该算法也是基于四四分法,将13个球分别进行编号,1-13号。?为标准球。

    第一步 1234 VS 5678

    共有两种情况:平衡1.1和不平衡1.2

    1.1   天平平衡,说明问题在(910111213),其他球为标准球。

第二步(91011 VS ?,?,?

同样有两种情况:平衡1.1.1和不平衡1.1.2

1.1.1 平衡说明问题在(1213)球。

第三步:(12 VS ?

   得到结果:如果平衡,13号是次球

                                                                       如果不平衡,12是次球

    1.1.2 不平衡说明问题在(91011)球,而且知道次球比标准球是轻还是重。

                        第三步:(9 VS 10

                                    得到结果:如果平衡,11号是次球

                                                              如果不平衡,根据次球的轻重可以确定109哪个是次球

    1.2   天平不平衡,说明问题在(12345678)球。

同时可知重量(1+2+3+4 >< 5+6+7+8

第二步 1235VS 4?,?,?

有两种情况:1.2.1 平衡和1.2.2 不平衡。

  1.2.1 平衡说明问题在(678)球。而且可以确定次球轻重。

     第三步 6VS7

                               得到结果:如果平衡,8号是次球

                                                                                   如果不平衡,根据次球轻重可知76号是次球

  1.2.2 如果不平衡说明问题在(12345)球。

                           不平衡有两种情况,1.2.2.1天平倾斜不变,1.2.2.2 天平倾斜改变。

                           1.2.2.1 天平倾斜改变,说明问题出在(45)球。

                                             第三步 4vs ?

                                                               得到结果:如果平衡,5号是次球

                                                                                                     如果不平衡,4号是次球

                           1.2.2.2天平倾斜不变,说明问题出在(123)球。且可知次球轻重。

                                             第三步 1 vs 2

                                                               得到结果: 如果平衡,3号是次球

                                                                                                      如果不平衡,根据次球轻重可知21号是次球

 

    感谢以上提到的各位老师和科学网的众博主的支持和关注。

    注:应行仁老师已给出该问题的通解,请见:http://blog.sciencenet.cn/blog-826653-658533.html



https://wap.sciencenet.cn/blog-652078-658415.html

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