滤波问题中的关键是低通滤波器的构建。带通滤波器可视为两个不同低通滤波器的差。

理想低通滤波器是shannon函数，但是其在时域中的衰减速度为O(1/t), 实用起来不是很方便，尤其是在对于较短时间序列进行滤波的时候。本博客提供一种在时域中的衰减速度为O(1/t²)的近理想低通滤波器，期待该滤波器能够在较短时间序列滤波中发挥作用。

理想的低通滤波器是shannon函数s_v(t)，即

${s_varpi }(t) = frac{{sin varpi t}}{{pi t}}$                                   (1)

其中v>0是一常数，代表截止频率。该滤波器的傅立叶变换即频域响应是一个矩形，即

${{hat s}_varpi }(omega ) = left{ {begin{array}{*{20}{c}} {1,} & {|omega | le varpi } \ 0 & {|omega | > varpi } \ end{array}} right.$                                 (2)

其中^是傅立叶变换算子。因此s_v(t)是个理想低通滤波器。但是，由(1)可知，s_v(t)在时域中的衰减速度为O(1/t), 有些慢。也就是是说，在实际低通滤波应用中，s_v(t)的截断是个问题。截断后的s_v(t)如果太短会引入滤波误差，截断后的s_v(t)如果太长则会引入较长的边缘效应。

下面看一个近理想的低通滤波器l_v(t)，

${l_varpi }(t) = frac{{sin at}}{{at}}{s_varpi }(t) = frac{{sin atsin varpi t}}{{pi a{t^2}}}$                    (3)

其中a>0是一个相对于截止频率v较小的常数频率, 即a/v<1。该滤波器的傅立叶变换(即频域响应)是一个梯形，即

${{hat l}_varpi }(omega ) = left{ {begin{array}{*{20}{c}} {1,} & {|omega | le varpi - a} \ {frac{1}{{2a}}(omega + varpi + a),} & { - (varpi + a) < omega < - (varpi - a)} \ { - frac{1}{{2a}}(omega - varpi - a),} & {varpi - a < omega < varpi + a} \ {0,} & {|omega | ge varpi + a} \ end{array}} right.$        (4)

当a/v<<1时，滤波器l_v(t)就是一个近乎理想的低通滤波器了。

由(3)可以看出，低通滤波器l_v(t)在时域中的衰减速度为O(1/t²)，要比s_v(t)衰减得快。也就是说l_v(t)在滤波应用时更容易被截断。当然，这一高速衰减是建立在l_v(t)在频域中是个近乎矩形的梯形的让步基础之上的。在滤波实际应用中，这种让步是被允许的。

但愿大家会喜欢近理想的低通滤波器l_v(t)。