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【逻辑学知识】自然推理系统

已有 11748 次阅读 2015-5-30 10:24 |系统分类:教学心得

【逻辑学知识】自然推理系统

一、自然推理是什么?

所谓自然推理,就是从给定的前提命题出发,运用演绎推理的有效式即根据演绎推理规则进行的推理。 演绎推理,前提命题的合取(∧)蕴涵(结论命题。自然推理和公理化推理不同,它不预设公理,只是根据规则,从给定的前提命题出发得出结论命题。这似乎更符合人们日常思维的习惯,因此,称之为自然推理。自然推理是判定推理形式有效的一种方法。自然推理的基本思想是确定一些推理规则,这些规则具有保真性,也就是说,依据这些规则,从真前提只会推出真结论。

二、自然推理系统的组成

由以下三部分要素组成 :  

1. 字母表 :   
   (1)
 命题变项符号 pqr;---  
   (2)
 联结词符号 :

        ¬(非)

       ∧(合取);∨(析取);

       →(蕴涵)

       ↔(等值)

     (同时表示运算优先级)  
   (3)
括号与逗号: ();,。  
2. 合式公式集  
3. 推理规则

三、基本规则
1、前提引入规则,在推理的任何一步都可以引入前提,这条规则为p规则。
2、重言蕴涵规则,如果在推理中有一些在先的命题,它们的合取(∧)重言地蕴涵(→)A,那么,在推理中就可以引入命题A,这条规则为T规则。
3、条件证明规则,如果能从假定前提A和一组前提R推出B那么,可以从这组前提推出(AB),这条规则为C·P规则。即:RA B 与 R AB) 是等值的,写成公式:

R A → B  ↔  R →(A→B)  

C·P规则(输出律)的证明:

R → (A→B)  R (A→B)  R (A B) (R  A) B

 (R A) B R A → B

即:R →(A→B)    R A → B

上述证明应用了:

实质蕴涵律:p→q  p q

德摩根律:(p q)  p  q

                  (p q)  p  q

结合律: p (q r) (p q) r

               p (q r) (p q) r

其他定律请见“【逻辑学知识】重言蕴涵式和重言等值式” http://blog.sciencenet.cn/blog-626289-889429.html

四、例子

例1

在自然推理系统中构造下面推理的证明 :  

前提 :  p∨q, q→r, p→s,s  

结论 :  r(pq)  

证明 :  
 ps                p规则 前提引入      
 s                   p规则 前提引入          
 p                   T规则①②  (ps)sp    
 pq                p规则 前提引入              

 q                      T规则③④析取三段式       

 qr                 p规则 前提引入       

  r                      T规则⑤⑥  假言推理  (qr)∧q r      

 r(pq)          T规则④⑦ 合取,得证。 

例2

在一起案件中,侦查人员了解到如下一些情况:

(1)甲和乙不同时作案;

(2)如果丙作案,那么乙也作案;

(3)如果丁作案,那么甲也作案;

(4)或者戊和己不同时作案,或者丙作案。

据此,侦查人员做出推断,如果丁和己一同作案,那么戊不会作案(即要得出s∧u→t )。

问:这一推断正确吗?

解:用符号表示如下命题:

p:甲作案

q:乙作案

r:丙作案

s:丁作案

t:戊作案

u:己作案

推断如下:

(1)甲和乙不同时作案          (p∧q)                  p规则 前提引入

(2)如果丙作案,那么乙也作案     r→q                   p规则 前提引入

(3)如果丁作案,那么甲也作案     s→p                   p规则 前提引入

(4)戊和己不同时作案或者丙作案  (t∧u) ∨r              p规则 前提引入

(5)如果丁和己一同作案          s∧u             假定前提引入

(6)丁作案                         s             T规则(5)

(7)甲作案                         p             T规则(3)(6)

(8)甲不作案或者乙不作案     p∨q            T规则(1)  德摩根律

(9)乙不作案                   q               T规则(7)(8)

(10)丙不作案                 r                T规则(2)(9)

(11)戊和己不同时作案      (t∧u)              T规则(4)(10)

(12)戊不作案或者己不作案   t∨u             T规则(11)  德摩根律

(13)己作案                         u                T规则(5)

(14)戊不作案                    t                  T规则(12)(13)

(15)那么戊不作案                s∧u →t              C·P规则(5)(14)

所以,侦查人员的推断正确。  

例3

在自然推理系统中构造下面推理(复杂构成式二难推理)的证明 :
(p→q)∧(r→s)∧(p∨r) → (q∨s)  

证明 : 用归谬法

①  如果 ¬(q∨s)     p规则 假设前提引入         
②  
q∧s             T规则 ① 德摩根律              
③  
q                     T规则 ② 简化律    
④  p→q                  p规则 前提引入
     
⑤  
p                     T规则③ ④  假言推理(否定后件式)
⑥  s                      T规则 ② 简化律
⑦  r→s                   前提引入              
⑧  
r                      T规则⑥ ⑦  假言推理(否定后件式)
⑨  p∨r                   前提引入  
⑩  r                         T规则   ⑤ ⑨ 析取三段论
⑾  p                        T规则 ⑧ ⑨析取三段论 
⑿  r∧r  , p∧p      T规则⑧ ⑩合取, T规则⑤ ⑾合取 
⒀  那么(¬(q∨s) →(r∧r))  →   (q∨s) C·P规则

假设前提¬(q∨s)推出相互矛盾的命题r∧r,得出q∨s为真的结论。

和数学一样,形式逻辑学提供一般的推理方法,这些方法可以应用于各门学科。

正在尝试应用自然推理系统于化学教学之中。

例4

1)工业上可用组成为K2O M2O3 ∙ 2RO2 ∙ nH2O的无机材料纯化氢气。

         ①已知元素MR均位于元素周期表中第3周期,两种元素原子的质子数之和为27,则R的原子结构示意图为        

解: 理过程如下:

1) 有K2O M2O3 ∙ 2RO2 ∙ nH2O   (P规则 前提引入)

2) 得 M2O3 RO2                       (T规则 由1

3) 有O2-                                             (前提引入)

4)有电中性规则               (前提引入)

5) 得 M3+  和  R4+                        (由 234

6)有第三周期元素Na(111+)Mg(122+)Al(133+)Si(144+)
P(153+5+3-)S(162-4+6+)Cl(171-1+3+5+)Ar(180)           (前提引入)

7) 元素MR均位于元素周期表中第3周期      (前提引入)

8Z(M) + Z(R)  = 27                   前提引入)

9) 得 M = Al R =Si                  (由5678

10)有Si的原子结构示意图如下图   (前提引入)

11)得R的原子结构示意如下图     (由89


这样形式的解题应该有助于清晰学生思想过程。

实际上,我们很多的日常工作应用的就是自然推理系统。

自然推理和公理化推理不同,它不预设公理,只是根据规则(逻辑规则和学科规则,逻辑学不管学科规则),从给定的前提命题出发推出结论命题。

至今中国还没有人应用公理化方法建立过理论体系。    




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