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【逻辑学知识】重言蕴涵式和重言等值式

已有 13685 次阅读 2015-5-11 22:09 |系统分类:教学心得

重言蕴涵式和重言等值式


1-8为重言蕴涵式:

9-18为重言等值式:


形式逻辑学的合式公式数量无限多。其中重言的蕴涵式刻画因果关系,是有效推理形式。而重言等值式更刻画双向推理。

除了上述列表的常用的公式以外,还有一些常用的有名称的公式:

19. 同一律:  p→p

20. 排中律:  p∨¬p

21. 矛盾律:  ¬(p∧¬p)

22. 归谬律: (p→(r∧¬r))→¬p

23. 加元律:  p(p∧(q∨¬q)

                 p(p(q¬q)

(符号¬和~都表示否定、“并非”)

德摩根律(DM)应用的例子
这个商店的商品物美并且价廉。(p∧q)
并非这个商店的商品物美并且价廉。~(p∧q)
等值于:这个商店的商品或者物不美或者价不廉。p∨~q

以逻辑运算的形式表达思想,其确定性和保真性之高可想而知。

德摩根律证明(真值表法):

二难推理的四种形式:(符号顺序与5有所不同)



其中,第一为简单构造式,第二为复杂构造式(同5),第三为简单破坏式,第四为复杂破坏式。

实质蕴涵律(15)证明(真值表法):

特征:p→q,前(p)真后(q)假为假,(¬p∨q)为假。

换位律(14)的证明(真值表法),充分条件假言命题(蕴涵式)与其逆否命题等值:

自然推理,就是从给定的前提出发,运用上述推理的有效式即根据推理规则进行的推理。自然推理和公理化推理不同,它不预设公理,只是根据规则,从给定的前提出发得出结论。

例: 在自然推理系统中构造下面推理的证明 :  
       
前提 : pq, q→r,  p→s, Øs  
    结论 :  r(pq)  

证明 :  
  ①  p→s                 前提引入      
  ② Øs                    前提引入          
  ③ Øp                    ①②假言换位律(trans)        
  ④  pq                 前提引入        

      ⑤  q                      ③④析取三段式 (DS)

       q→r               前提引入 

        r                      ⑤⑥假言推理肯定前件式(MP)

       r(pq)            ④⑦ 合取律(Conj)

证毕。

把有具体内容的命题赋予命题变量,就构成了有内容的推理。

例:  在自然推理系统中构造下面推理的证明:

若数a 是实数(p),则a 不是有理数就是无理数,要么是有理数,要么是无理数[(qr)Ø(qr)](异或。若a 不能表示成分数(Øs),则它不是有理数(Øq)。a 是实数且它不能表示成分数(pØs ),所以a是无理数(r)。

解:  pa是实数; qa是有理数;ra是无理数;sa能表示成分数。  

  前提: p→(qr)Ø(qr)Øs→ØqpØs  
  结论 :   r  
  证明 :  
    ①   pØs                                     前提引入        
    ②    p                                              化律(Simp)              
    ③   Øs                                           简化律(Simp)          

       ④    p→(qr)Ø(qr)                前提引入  

              ⑤   qr

                  Ø(qr)                                 ②④假言推理肯定前件式(MP) 

              ⑥   Øs →Øq                              前提引入  

              ⑦   Øq                                         ③⑥假言推理肯定前件式(MP    
             
⑧    r                                       ⑤⑦析取三段论(DS)

qa是有理数;ra是无理数,qr不能同真,a要么是有理数,要么是无理数。







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