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普通高中数学教材的怪事

已有 4208 次阅读 2017-3-31 05:20 |系统分类:教学心得

普通高中数学教材的怪事

对一个命题的否定,得出的命题是原命题的否命题,或者说,一个命题的否命题就是对这个命题的否定得到的命题。否命题是命题。例如,命题:所有的玫瑰花都是红色的花,对它进行否定,得出它的否命题:

并非所有的玫瑰都是红色的花。

只要p,就q,(若p,则q;如果p,那么q,都是一个意思),是充分条件假言命题,可以用符号(人工语言)表示:

p→q

对这个命题的否定,得出它的否命题:并非(只要p,就q),符号表示

¬(p→q)。

人教版普通高中课程标准实验教科书《数学》选修1-1第5页说,如果原命题为“若p,则q”,那么它的否命题为

“若¬p,则¬q”(符号表示:¬p→¬q)。

岂不怪事?

为了与此相区别,教材稍后一点用“命题的否定来指称真正的否命题,可是,命题的否定是一个表达行为的语词,而不是表达事物的语词,不应该用“命题的否定”来指称命题。这个行为的结果是命题,应该用XXX命题来指称,称为否命题是恰当的。

实际上,根据实质蕴涵律(impl)和德摩根律(DM),可以推出充分条件假言命题的否命题的等值命题:

¬(p→q)≡¬(¬p∨q)≡(p∧¬q)。

例子:并非 只要地面湿(p)天就下雨(q),等价于,地面湿(p)但是天不下雨(¬q)。

只要地面湿(p)天就下雨(q),是一个假命题,否定以后,就成了真命题,并非地面湿(p)天就下雨(q),是真命题,等价于,地面湿但是天不下雨,真命题。

教材所说的“逆否命题”,实际上就是换位律(trans):

(p→q)≡(¬q→¬p)

可以用真值表证明:


也可以用“实质蕴涵律”推出:

(¬q→¬p)≡(qp≡(pq≡(pq)


从下图可以看出,除了对角线的所谓“互为逆否”等价(同真同假,况且这两个对角线的关系也是等价,就“换位律”一个公式),其他之间根本没有相关,没有相关的命题我们关注它没有意义。为了这两个等价的所谓“互为逆否”搞这么一个复杂的图,弄晕学生;而且占用了本该用于表达“命题的否定”得出的否命题的语词。


这个图所用符号也很不讲究,对角线的等价关系用双箭头,其他没有关系的也用双箭头。







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1 徐令予

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