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若矩阵A的Frobenius范数小于1,则A+I是可逆矩阵

已有 6992 次阅读 2014-8-30 15:57 |个人分类:线性代数|系统分类:科研笔记| 可逆矩阵, Frobenius范数

设$V$是$\mathbf{R}$上的$n$维有限维线性空间,设$V$的一组基为$\{k_1,k_2,cdots,k_n\}$.现在设$V$里存在一个向量$a$,我们知道$a$可以被唯一地表达成
\begin{equation}
 a=a_1k_1+a_2k_2+cdots+a_nk_n
\end{equation}
现在让
\begin{equation}
 a_1,a_2,cdots,a_n\neq 0
\end{equation}
我们把此时的$a$叫做$V$里的一个全面向量.现在令不可逆方阵$M$为
\begin{equation}
M=\begin{pmatrix}
 a_{11}&a_{12}&cdots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&cdots&a_{2n}\\
cdots&cdots&cdots&cdots\\
a_{n1}&a_{n2}&cdots&a_{nn}\\
\end{pmatrix}
\end{equation}
我们知道,$M(a)$也是$V$里的一个向量,只不过$M(a)$已经不仅仅是一个$V$里的向量了,更是$V$的某个真子空间里的向量.此时,$M(a)$不是$V$里的一个全面向量,叫不全面向量.

下面我们来证明这个命题:

若$A$是一个$n$阶方阵,且$A$的Frobenius范数小于1,则$A+I$是可逆矩阵.


证明:对于$V$里的任意一个全面向量$v$.我们来看$(A+I)(v)=A(v)+v$.由于$A$的Frobenius范数小于1,因此$A(v)$的范数小于$v$的范数(为什么?提示:使用柯西不等式,更加具体地,请见Analysis_Terence Tao_exercise_17.1.4.pdf
).因此$A(v)+v$是$V$里的一个全面向量(为什么?).因此$A+I$是可逆矩阵.


注:我在这里还要证明一个类似命题:如果$A$是$n$阶方阵,则存在足够小的实数$|e|$,使得$A+eI$是可逆矩阵.

证明:设$V$是$\mathbf{R}$上的$n$维线性空间,$a$是$V$里的一个全面向量.$A(a)$是$V$中的一个向量.易得当$|e|$足够小的时候,$A(a)+ea$是$V$中的一个完全向量.因此$A+eI$是可逆矩阵.



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