# 线性映射对单位正方形的作用

${displaystyle L=begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & ldots & a_{1,n} \ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & ldots & a_{2,n} \ vdots & vdots & vdots & vdots & vdots \ a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & a_{n-1,3} & ldots & a_{n-1,n}\ a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3}&ldots & a_{n,n} end{pmatrix} (1)}$

${displaystyle L'=begin{pmatrix} u_{1,1} & u_{1,2} & u_{1,3} & ldots & u_{1,n} \ & u_{2,2} & u_{2,3} & ldots & u_{2,n} \ vdots & & ddots & ddots & vdots \ & (0) & & ddots & u_{n-1,n}\ 0 & & cdots & & u_{n,n} end{pmatrix} (2)}$

${displaystyle L''=begin{pmatrix} v_{1,1} & & cdots & & 0 \ & v_{2,2} & & (0) & \ vdots & & ddots & ddots & vdots \ & (0) & & ddots & \ 0 & & cdots & & v_{n,n} end{pmatrix} (3)}$

${displaystyle L''(E)=[0,v_{1,1}b_1]times [0,v_{2,2}b_2]timescdotstimes [0,v_{n,n}b_n]. (4)}$

($forall 1leq ileq n$,当然如果$v_{i,i}<0$,那么区间 $[0,v_{i,i}b_i]$其实应该写成$[v_{i,i}b_i,0]$.)于 是,$L''(E)$ 的体积变为

${displaystyle m(L''(E))=|v_{1,1}v_{2,2}cdots v_{n,n}|b_1b_2cdots b_n=|det L''|. }$

${displaystyle m(L''(E))=|det L|m(E). }$

${displaystyle m(L''(E)))=m(L(E)). }$

${displaystyle L''=P_1P_2cdots P_kL, }$

${displaystyle m(P_1P_2cdots P_kL(E))=m(L(E)). (5)}$

3. [对角矩阵的效果是将 $n$ 维矩形变为另一个 $n$ 维矩形.]

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GMT+8, 2024-9-9 00:54