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南开版泛函分析（第二版）教材习题选解.第三章
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103 页第4题 设
是banach空间，证明如果
可分，则也是可分的。
是banach空间，证明如果可分，则也是可分的。这道题目具有很强的技巧性，我想了很久没想出来，最后在网上找到了答案
103 页第5题
证明
及
不是自反的。
及不是自反的。证明：这道题目很简单，直接使用上面第四题的结论“设是banach空间，证明如果可分，则也是可分的。”即可。
是banach空间，证明如果可分，则也是可分的。”即可。因为及的对偶空间
和
分别是
和
， 如果及是自反的，
和
的对偶空间是及，而和不是可分的，及是可分的，因此矛盾。
及的对偶空间和分别是和 ， 如果及是自反的，和的对偶空间是及，而和不是可分的，及是可分的，因此矛盾。对于，本题也有一种稍微麻烦的办法，首先，在里面有一个子空间
：中所有的其本身为收敛列的元素，也就是
，
这样的元素构成的空间
。
，本题也有一种稍微麻烦的办法，首先，在里面有一个子空间：中所有的其本身为收敛列的元素，也就是，这样的元素构成的空间。在子空间里面定义一个泛函，对于任意的
，
，
，可以证明
是子空间上的线性有界泛函，于是可以延拓到上的线性泛函
，使得在子空间上
。且
，若的对偶空间是，则有中的元素
与同构，且
， 有因为
，所以
，所以
，所以
，但是另一方面，，所以
，所以
，与之矛盾
里面定义一个泛函，对于任意的，，，可以证明是子空间上的线性有界泛函，于是可以延拓到上的线性泛函，使得在子空间上。且，若的对偶空间是，则有中的元素与同构，且， 有因为，所以，所以，所以，但是另一方面，，所以，所以，与之矛盾103 页第7题 暂时还不会
103 页第8题 设
是banach空间
中的点列。证明如果对于每一个
， 
， 则存在常数
,使得对于每一个：
是banach空间中的点列。证明如果对于每一个， ， 则存在常数,使得对于每一个：
证明：本题使用共鸣订立可以很容易的证明。
构造一个集合
，集合中的每一个元素是个中的点列：
其中，
为实数的符号函数：
，集合中的每一个元素是个中的点列： 其中， 为实数的符号函数：
当 
当 
对于集合 
中的任意一个元素
，可将任意的 按如下映射到实数， 
中的任意一个元素，可将任意的 按如下映射到实数， 又因为对于每一个， ，所以对于每一个，
，且这个映射是个线性映射，于是根据共鸣定理有，存在实数
，使得对于每一个，
， ，所以对于每一个，，且这个映射是个线性映射，于是根据共鸣定理有，存在实数，使得对于每一个，有
， 
， 于是，对每一个的，有
， 且
，有， 且即： 
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