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从不确定性原理到X,P的相关,独立性的思考

已有 3697 次阅读 2012-5-20 16:18 |个人分类:量子评论|系统分类:观点评述| 概率论, 独立性, 不确定性原理, 力学量

大学概率论与数理统计有关于随机向量的数学期望和方差及协方差和相关系数的概念及其公式:


定义1 
    
(X1,X2,…,X n)n维随机向量,且每个分量的数学期望和方差都存在;则称数值向量(EX1,EX2,…,EX n)(X1,X2,…,X n)数学期望,简称期望;称数值向量(DX1,DX2,…,DX n)(X1,X2,…,X n)方差

定义2     
    
对两个随机向量(X,Y),E(X-EX)(Y-EY)存在,则称cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY) XY的协方差。特别, X=Y,     cov(X,X)=E(X-EX)2=DX因此,方差是协方差的特例。

性质   cov(X,Y)=EXY-EXEY

          cov(X,Y)= cov(Y,X)

          cov(aX,bY)= abcov(X,Y)

          cov(X1+X2,Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y

推论      D(X±Y)=DX+DY±2cov(X,Y)

相关系数

定义  设随机变量XP的方差为正值,

P = [E(XP)-E(X)E(P)]/[D(X)D(P)](1/2)称为XP相关系数

当我们将这一概念引入量子力学,并且将X,Y分别用力学量算符 来表示,则相关系数协方      

cov=[E(XP)+E(PX)-2EXEP]/2   

 

P =[E(XP)+E(PX)-2E(X)E(P)]/{ 2 [D(X)D(P)](1/2)}

经过一些简单的放缩发现P的绝对值0~1

 

数学中随机变量之间的关系有相关、不相关和独立(不相关和独立并不是同一概念,只有对正态分布这两个概念是等价的)。因此,我不禁要问力学量之间是否也具有一些相应的关系。譬如,当他们的相关系数为1时,是否就意味着这两个力学量是对易的,也就是说它们是否有共同的本征函数;当他们的相关系数为0时是否意味着这两个力学量是完全独立的 (或者说是两个力学量是处于两个不同的力学量系统中的,即非相干态);当相关系数在0~1时,是否意味着这两个力学量相应的本整函数在时空领域内有一定的重叠性(在数学中则表示为两个数学未知数之间的线性关系)。



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