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菲克定律:气体分子在材料中的固溶及随后扩散

已有 4560 次阅读 2020-9-15 00:21 |个人分类:关注的问题|系统分类:科研笔记

关注:

1)  气体在材料中的固溶形式:原子vs分子

2)  气体在材料中的扩散

3) 菲克定律

4) 利用origin求导、求积分


(一) 陈氏物语:20200914   气体在材料中固溶形式

致密金属,其晶格间隙小于氢分子半径,氢分子只有离解成氢原子,才有可能进入金属,并在金属中以原子形式扩散,晶体中如有缺陷,也是千分之几量级,即只有少量的氢原子在缺陷处聚合成氢分子,大部分仍保持为原子形式。


氢在多孔材料或陶瓷材料中的扩散形式不同于致密金属,扩散方程与压力的指数关系将发生改变。


https://baike.baidu.com/item/%E8%8F%B2%E5%85%8B%E5%AE%9A%E5%BE%8B/4906891?fr=aladdin


(二) 菲克定律与数学物理方法

菲克定律包括两个内容:

(1)早在1855年,菲克就提出了:在单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面积的扩散物质流量(称为扩散通量Diffusion flux,用J表示)与该截面处的浓度梯度(Concentration gradient)成正比,也就是说,浓度梯度越大,扩散通量越大。这就是菲克第一定律。


(2)菲克第二定律是在第一定律的基础上推导出来的。菲克第二定律指出,在非稳态扩散过程中,在距离x处,浓度随时间的变化率等于该处的扩散通量随距离变化率的负值



在单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面积的扩散物质流量(称为扩散通量Diffusion flux,用J表示)与该截面处的浓度梯度(Concentration gradient)成正比,也就是说,浓度梯度越大,扩散通量越大。数学表达式如下:



式中, D称为扩散系数(m2/s),C为扩散物质(组元)的体积浓度(原子数/m3或kg/m3),∂C/∂x为浓度梯度,“–”号表示扩散方向为浓度梯度的反方向,即扩散组元由高浓度区向低浓度区扩散。扩散通量J的单位是kg / (m2·s)



对于三维的扩散体系,作为矢量的扩散通量J可分解为x、y、z坐标轴方向上的三个分量Jx、Jy、Jz此时扩散通量可写成:





或者





其中,i、j、k表示x、y、z方向的单位矢量。J为扩散通量,为一个三维向量场,D为扩散系数,为一个二阶张量,C为浓度,为一个数量场,▽为梯度算子。

上面两个式子为菲克第一定律的数学表达式,它是描述扩散现象的基本方程。菲克第一定律指出:在任何浓度梯度驱动的扩散体系中,物质将沿起其浓度场决定的负梯度方向进行扩散,其扩散流大小与浓度梯度成正比。值得注意的是,扩散方程是描述宏观扩散现象的唯象关系式,其中并不涉及扩散系统内部原子运动的微观过程,扩散系数反映了扩散系统的特性。扩散方程中浓度C是位置和时间的函数,扩散系数D理论上是一个含有9个分量的二阶张量,与扩散系统的结构对称性密切相关。 [2]



扩散物质在扩散介质中的浓度分布随时间发生变化的扩散常称为不稳定扩散,其扩散通量随位置与时间变化。对于不稳定扩散,可以从物质的平衡关系着手,建立第二扩散微分方程式

菲克第二定律是在第一定律的基础上推导出来的。菲克第二定律指出,在非稳态扩散过程中,在距离x处,浓度随时间的变化率等于该处的扩散通量随距离变化率的负值,得



这就是菲克第二定律的数学表达式。如果扩散系数D随坐标x变化不大,可近似看成常数,则该式可以写成







上式中,C为扩散物质的体积浓度(kg/m^3), t为扩散时间(s), x为距离(m)。实际上,固溶体中溶质原子的扩散系数D是随浓度变化的,为了使求解扩散方程简单些,往往近似地把D看作恒量处理。

对于各向同性的三维扩散体系,菲克第二扩散方程可写为:





对于球对称扩散,上式可变换为极坐标表达式:





菲克第二扩散方程描述了不稳定扩散条件下介质中各点物质浓度由于扩散而发生的变化。根据各种具体的起始条件和边界条件,对菲克第二扩散方程进行求解,便可得到相应体系物质浓度随时间、位置变化的规律。 [2]


菲克定律里的稳态扩散和非稳态扩散

稳态扩散稳态扩散

菲克第一定律只适应于J和C不随时间变化——稳态扩散(Steady-state diffusion)的场合。所谓稳定扩散是指扩散过程中扩散物质的浓度分布不随时间变化的扩散过程,这类问题可直接用菲克第一定律解决。对于稳态扩散也可以描述为:在扩散过程中,各处的扩散组元的浓度C只随距离x变化,而不随时间t变化,每一时刻从前边扩散来多少原子,就向后边扩散走多少原子,没有盈亏,所以浓度不随时间变化




实际上,大多数扩散过程都是在非稳态条件下进行的

不稳定扩散是指扩散过程中扩散物质的浓度分布随时间变化的一类扩散过程。典型不稳定扩散中典型的边界条件可分为两种情况:第一种情况是在整个扩散中扩散质点在晶体表面的浓度C0保持不变;第二种情况是一定量的扩散物质Q由表面向内部扩散。

不稳定扩散(Nonsteady-state diffusion)的特点是:在扩散过程中,J随时间和距离变化。通过各处的扩散通量J随着距离x在变化,而稳态扩散的扩散通量则处处相等,不随时间而发生变化。对于非稳态扩散,就要应用菲克第二定律了 [2]



(三) 微积分知识补充:20200914


https://blog.csdn.net/u012067766/article/details/80929951

求导基本公式

1/x的导数是-1/x^2。


(u/v)'=(u'*v-u*v')/(v^bai2)可得,


(1/x)'=(1'*x-1*x')/x^2=-1/x^2



x的n次方的导数

函数积(f(x)*g(x))求导

微积分1.png

积分常数

现有右侧表达式:\int {x^2}dx

它就表示为,“求x{x^2}关于x的积分”。积分是导数的逆运算,也就可以转换一下思考方式:“关于x,求导得到{x^2}的函数是什么”,得到的函数就是上述表达式的积分,即:函数\frac{1}{3}{x^3}求导的结果就是{x^2}了。但其实这并不是正确的答案。因为常数项在求导后会被消掉,所以,\int {x^2}dx的积分(原函数)有无数多个表示法(\frac{1}{3}{x^3}+2,\frac{1}{3}{x^3}+11等等)。为此,此时应该这样处理:

用C字母表示所有可以做常数项的数字。

原函数

对f(x)求不定积分得到的函数叫做原函数。原函数可以写成\int f(x)dx,也可以用大写的f表示:F(x)。

对某图形求导

在上面的例子中,原函数在第“2”部分的导数图像为什么是“4”那样的?是因为在“2”部分对应的函数的斜率(导数)此时是负的,根据曲线的变化不难看出,斜率是先减小后增大,所以对应的导数图像就是“4”的样子。

如果导数表示变化的情况,那么积分就表示变化的集合。

有区间范围的积分

定积分就是有区间范围的积分:

定积分的积分号的上下都有字母,这表示“从何处到何处的范围”,“从何处起”在下,“到何处止”在上,因此\int_{a}^{b}的范围就是从a到b。

 

 

在最该去打拼的年纪,找一份稳定的工作,后来你会发现,哇塞,你穷的果然很稳定。

贫穷限制了我们的想象,但是我们不能被贫穷阻止想象。从现在开始努力,没准还能拼出个大器晚成。

https://baike.baidu.com/item/%E5%AF%BC%E6%95%B0


这里将列举14个基本初等函数的导数。

函数原函数导函数

常函数

(即常数


 (C为常数)




 指数函数





幂函数





对数函数









正弦函数





余弦函数





正切函数





余切函数





正割函数





余割函数





反正弦函数





反余弦函数





反正切函数





反余切函数





双曲线函数





复杂函数

1、导数的四则运算:

高阶导数运算法则高阶导数运算法则


 ……………….①



 ………………②



 ………………③


2、原函数与反函数导数关系(由三角函数导数推反三角函数的):

y=f(x)的反函数是x=g(y),则有y'=1/x'。

3、复合函数的导数:

复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数(称为链式法则)。

4、变限积分的求导法则:



(a(x),b(x)为子函数)

导数的计算

计算已知函数的导函数可以按照导数的定义运用变化比值的极限来计算。在实际计算中,大部分常见的解析函数都可以看作是一些简单的函数的和、差、积、商或相互复合的结果。只要知道了这些简单函数的导函数,那么根据导数的求导法则,就可以推算出较为复杂的函数的导函数。

导数的求导法则

由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。基本的求导法则如下:

1、求导的线性:对函数的线性组合求导,等于先对其中每个部分求导后再取线性组合(即①式)。

2、两个函数的乘积的导函数:一导乘二+一乘二导(即②式)。

3、两个函数的商的导函数也是一个分式:(子导乘母-子乘母导)除以母平方(即③式)。

4、如果有复合函数,则用链式法则求导。

高阶求导

高阶导数的求法

1、直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数。

一般用来寻找解题方法。

2、高阶导数的运算法则:

 (牛顿-莱布尼茨公式


3、间接法:利用已知的高阶导数公式,通过四则运算,变量代换等方法。

注意:代换后函数要便于求,尽量靠拢已知公式求出阶导数。

    口诀

    为了便于记忆,有人整理出了以下口诀:

    • 常为零,幂降次

    • 对倒数(e为底时直接倒数,a为底时乘以1/lna

    • 指不变(特别的,自然对数的指数函数完全不变,一般的指数函数须乘以lna

    • 正变余,余变正

    • 切割方(切函数是相应割函数(切函数的倒数)的平方

    • 割乘切,反分式









    https://wap.sciencenet.cn/blog-567091-1250582.html

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