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等差数列的妙题(1)

已有 4313 次阅读 2010-1-17 21:50 |个人分类:奥数|系统分类:教学心得| 奥数, 等差数列

          计算:1/1*2+1/2*3+1/3*4+····+1/99*100=

          记得很久以前老师讲这道题的时候,觉得非常的神奇,因而印象深刻,方法一下子就记住了,几十年了都没有忘记:

        1/1*2+1/2*3+1/3*4+····+1/99*100=1/1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+····1/99-1/100=1/1-1/100=99/100

       但也是只知其然而不知其所以然。最近在跟儿子玩这类题的时候才发现了它们原来是非常有规律的。

        那规律就是——它们的分母都是等差数列的两两相邻项的积。

        一般的,对于以公差为 d  的等差数列,a1,a2,a3,a4,......,an。总有ak-a(k-1)=d。所以总有:1/ak - 1/a(k-1) =d/ak*a(k-1)  成立,因而:      

       k/a1*a2+k/a2*a3+......+k/an*a(n-1)  =

      可以转化成:k/d(d/a1*a2+d/a2*a3+......+d/an*a(n-1) )

      这样即可解决问题了。

       n/a1*a2+n/a2*a3+......+n/an*a(n-1)  =n/d(d/a1*a2+d/a2*a3+......+d/an*a(n-1) )

       =k/d1/a1-1/a2+1/a2-1/a3+......+1/an-)-1/an)

       =k/d(1/a1-1/an)

        =k*(n-1)/a1*an



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