针对上周提出的一个有待深入研究的三维动力系统，作者将最近的研究结果作了总结。为了能尽快将结果公布，论文直接写成英文，刚在科学网上发布。由于时间紧，英文论文写得较专业，对动力系统理论中的术语没有给出通俗介绍，也没有详细介绍方程的力学背景。

在此简单介绍一下国内网友关心的方程背景问题。对此，最近专门问了 R. M. Bradley 教授，他是这样回答的：

Dear Dr. Guan,
If a solid surface has a small amplitude disturbance and it relaxes as a result of surface diffusion, the equation of motion for the surface height h = h(x,y,t) above the x-y plane is the Mullins equation h_t = -nabla^2nabla^2. The equations of motion I'm studying result from adding nonlinear terms to the Mullins equation and looking for solutions of the form h = h(x,t). If you look for traveling wave solutions or similarity solutions, it you can do an integration that yields an ODE of third order in the derivative with respect to x.

按照我的理解，他是在研究固体表面受小振幅扰动时，使用了扰动沿表面扩散现象所应满足的运动方程。固体表面写成平面坐标x,y,和时间t的函数 h(x,y,t),  按固体力学，该函数应满足含有双调和算子( $\Delta ^{2}= \Delta \Delta$ )的反应扩散方程，即

                                                            $h_{t}=-\Delta \Delta h + ...$

在空间为一维x的情况下，双调和算子则退化成对x的四阶导数，如果计算行波解，还可使 $h_{t}=0$ 。再设方程的右方可积分一次，这样就可得到他提出的常微分方程，也可得到我提出的改进形式（即，加上了一种耗散作用）。

关于此项研究的一些基础知识，我将在适当时候做些简单介绍。