By one definition, 

P is the problem sovable in polynomial time using DTM,

NP is the problem sovable in polynomial time using NDTM.

Basically, NDTM is a multiple copies of DTM because it can

have mutiple branch computations.

From this definition, it is very clear that P != NP

because it's very easy to design a problem to satisfy it.

Time complexity has nothing to do with the machine structures

whether you use 1-bit or 1000-bit, or simple machine or super

machine, the results are the same.

Time complexity only relate to possible problem data instances.

So many or even 'most' Boolean problems are or should be 

at least exponential.

As for the Hamiltonian problem, you can construct

a search tree, where the time complexity of each branch 

tree is much larger than exponential, and this can be 

easily proved. This is not only theory, practical implementation

will surely get this result if they are correctly implemented and

correct worst-case instances are tested.

Posa's algorithm is just another representation of search tree

and is not complete. Its implementation has many problems.

Some people say they tested an input size of n = 10000 within

10 minutes. You are joking!

With a size of this, if you started testing before the formation of

our universe with the most powerful computer, you are now just

finished the test input.

When will you finish the test?

It may well be that after the vanishing of our universe, you are still

at the beginning of your test!

Why, it will cost 1000000000000......full of 00000000000 years to

finish.

This is true!

 This blog is just an exercise! Take it for a ride.