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拓扑向量空间可以赋范的充要条件（选自Walter Rudin）
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拓扑向量空间
可以赋范当且仅当它的原点具有有界凸邻域。
可以赋范当且仅当它的原点具有有界凸邻域。必要性：
拓扑向量空间可以赋范，则有与拓扑空间相容的范数
，此时考虑单位球,
,
是凸邻域是显然的。
可以赋范，则有与拓扑空间相容的范数，此时考虑单位球,,是凸邻域是显然的。证毕。
注意对于一般的度量空间的球未必是凸的，在度量空间里面完全存在半径为3的球，包含在半径为2的球里面，这与我们的直觉有很大的差异。
充分性：若
是
的有界凸邻域，则存在有界均衡凸邻域
，
,在
定义半范数：
是的有界凸邻域，则存在有界均衡凸邻域，,在定义半范数：
,其中为Minkowski泛函，易知Minkowski泛函是半范。仅需验证分离性即可，即
易知
构成了的局部基，如果
,则根据Minkowski泛函性质可知，
,显然可以知道Minkowski泛函定义了一个范数
构成了的局部基，如果,则根据Minkowski泛函性质可知，,显然可以知道Minkowski泛函定义了一个范数https://wap.sciencenet.cn/blog-515664-447957.html
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