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仗着相似性可以走多远:从π到Π

已有 3697 次阅读 2016-3-14 14:08 |个人分类:应用数学|系统分类:科普集锦| 圆周率

仗着相似性可以走多远:从πΠ


今天你吃派了吗?今天是圆周率日(Pi day),是一个围观π的日子,就来谈谈“从π到Π”。

圆是一种美妙的几何图形,圆周率是一个神奇的超越数,漂亮的形与数引发了人类无尽的思考与驻足。AI啊,你是否会象人类一样,时不时地停下脚步,细细地欣赏这一道道靓丽的风景呢?

1. 圆周率π

线有长有短,圆有大有小,尺度是一个可以定性感知、也可以定量测量的概念。直径长了,圆就大了;直径短了,圆就小了。圆的周长C自然依赖于圆的直径D,记为C = f(D)。事实上我们很熟悉该关系的显式形式,但暂且极度不情愿地假装忘记它。

大圆缩小了变小圆,小圆放大了变大圆,相似也是一个可以定性感知、也可以定量测量的概念。直径和周长都是长度量,用直径作为长度的参考量去度量圆的周长,其值为C/D,而此时圆的直径为D/D= 1。即直径为1的圆,其周长为C/D,代入上述表达式,有C/D= f(1)或者C = Df(1)。与原来的表达式相比,获得了f(D)的显式表达形式,其中f(1)是一个常数,记为π。这就是“世界最美十大公式”之一,圆的周长公式C = πD


通过相似性的应用把问题简化了,体现在只需要一次测量就可以确定出常数π,然后不管多大的圆,都只需要测直径就可以计算周长,反之亦然。

运用相似性可以走多远呢?再来看一下直角三角形的例子,斜边长度与两个直角边的长度相关,即c = f(a, b)。取一边的长度a作为长度的参考量,有c/a = f(1, b/a)= g(b/a)。结果是,原本两个可变的自变量,变成了一个无量纲的自变量。问题简化了,但函数的形式还是未知,单次测量并不能使问题解决。嗯,运用相似性,只能走这么远!当然,如果进一步运用自相似性,我们将可以走得更远,即证明勾股定理,但此处略去不谈。

嗯,兜了这么大一个圈子讲这么“浅显”的道理!不过,简单的道理升华后就是哲理。

2. 白金汉Π定理

一个问题可能有很多的决定因素,因和果有着千丝万缕的联系。一股脑地列出所有可能的影响因素和目标量,均记为Ri,其中i = 1, 2, ..., N,总个数为N。对于确定性问题,这些量满足隐式关系F(R1, R2, ..., RN) = 0。对于科学问题,Ri的数值与其度量有关。如果只需选取k个无关的量作为参考量(不烦假设为前k个量),其他的Nk个量都可以用参考量作为度量参考,相当于我们得到了Nk个度量的数值,记为πi,其中i = 1, 2, ..., Nk,它们是没有量纲的量。这Nk个数值和k个1代到问题的隐式关系中是成立的,即有F(1, ..., 1, π1, π2,..., πNk) = 0或者写作f1, π2, ..., πNk) = 0。这就是著名的白金汉Π定理,它是量纲分析的基础,是模型试验的依据。依据Π定理,即可以少做试验,又可以缩放试验,大大节约试验的成本和时间,甚至提高某些较难测量的量的测量精度。

3. 天天过节

我们知道,圆周率π = 3.1415926535897932384626...是一个无限不循环小数,吸引了广泛而深远的兴趣。每年的今天,即3月14,被定为国际圆周率日(Pi day),许多人在这一天下午的1:59过国际数学节,比如吃派。然而,也有人选择在11月10过圆周率日,因为那是平年的第314天。也有选择在7月22过圆周率日,因为这一天的欧洲写法记为22/7,是约率。还有12月21日下午1:13,即平年的第355天的下午1:13,它由密率355/113而来。

这还不够!有些人认为半径比直径更有资格作为圆的基本参数,因为只需要一个固定点和一根线就可以在平面中做出圆来,线的长度就是圆的半径R,所以宁愿选择周长比半径作为圆周率,记为τ = C/R= 2π,并在每年的6月28过圆周率日(Tau day),据说要吃两倍的派。

好吧,实际上Π定理告诉我们,参考量可以较随意地选,如选D, R, R/2, R/3, ...,想怎么选就怎么选,无量纲参数不唯一,所以我们可以“天天过节”!

 

郑志军

2016年3月14(π日)

 




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