Dr. Zhijun Zheng分享 http://blog.sciencenet.cn/u/zjzheng9805

博文

离开计算器可以走多远:1006^(1/5)

已有 2437 次阅读 2016-1-20 18:52 |个人分类:应用数学|系统分类:科普集锦| 估算

离开计算器可以走多远1006^(1/5)

 

2010年秋季研究生课程《高等应用数学》期末测验中有一道估算题:估算1006^(1/5),要求不使用计算器。此后,该估算题被作为该课程的课后练习题,目的是藉此巩固泰勒展开的知识。实际上,该题目的前身是2010年11月给大一学生出的一道期中测验题:估算1005^(1/5)。有多种思路可以解答此类估算题。以下记Q = 1006^(1/5)

方式一:从形式上最容易联想到牛顿二项式展开:

(1+x)a= 1 + ax + a(a-1)x2/2! + a(a-1)(a-2)x3/3! + ...

想要通过计算前几项获得有效的近似解,必须要求 |ax| << 1。然而,居然有同学在考试中将 1006^(1/5) 改写为(1+1005)^(1/5),试图运用牛顿二项式展开。好吧,我竟无言以对。实际上,在这个时代我们已经很熟悉 1GB = 1024MB,因为 2^10 = 1024。那么,很容易可以将 Q 改写为:

Q = 4*(1006/1024)^(1/5) = 4*(1-18/1024)^(1/5)

利用牛顿二项式展开,原则上是可以手工计算的,而且收敛速度很快,如取前2项,可得 Q = 3.9859,容易判断已有四位有效数学。但如果想要达到更高的精度,比较麻烦的是做除法,特别是除以 1024。如果除以 1000  就简单了,这启发我们将 1024 写出 1000 + 24,于是就有了另一种计算方式。

方式二:Q 改写为:

Q = 4*[(1000+6)/(1000+24)]^(1/5)= 4*[(1+0.006)/(1+0.024)]^(1/5)

x = 0.006,则 Q = 4y(x),其中 y(x) = [(1+x)/(1+4x)]^(1/5)。可以利用麦克劳林展开得到

y(x) = 1 - 3/5*x + 42/25*x2- 642/125*x3 + 10419/625*x4- ...,

然后很容易就可以得到高精度的解。然而,上式并不是那么容易可以导出的,因为 y(x) 中包含了分式和分数次幂,求高阶导数很困难,所以实际上直接做麦克劳林展开是困难的。可以将 y(x) 改写为 (1+x)^(1/5)*(1+4x)^(-1/5),然后利用牛顿二项展开式,这就比较简单了。也还可以将式子改写为 (1+4x)*y^5= 1+x,然后对方程两边求导,重复地求导,易得y 的各阶导数在 x = 0 的取值,即可得到麦克劳林展开式中所需要的系数,从而可以得到上述的麦克劳林展开式。还可以采用级数法来确定。实际上,2010年的期末测验题中的前一个题目就是要求求函数 y(x) = [(1+x)/(1+4x)]^(1/5) 的麦克劳林展开式,两题是相关联的。

方式三:自从2014年起在大学数学复习课中增加了周玮的那个例子,许多学生采用了类似的方式来解答 Q,也算是一种计算方式。可以将 Q 改写为:

Q = exp(1/5*ln 1006) = exp{1/5*[3*ln 10 + ln(1+0.006)]}

然后运用 ln(1+x) 的麦克劳林展开式和 ln 10 = 2.30...,有 Q ~= exp(1.38),然后再利用 exp(x) 的麦克劳林展开式即可计算,但收敛速度较慢。受上一种方式启发,可以有

Q = 4*exp[1/5*ln(1006/1024)] = 4*exp(1/5*ln 1006-2*ln 2) ~= 4*exp(1.38-2*0.693) ~= 4*exp(-0.006) = 4*(1 - 0.006 +...) = 3.97...

原则上,利用 ln(1+x) 和 exp(x) 的麦克劳林展开式(见附A)以及 ln 2 的计算式(见附B),可以得到任何想要得到的精度。

郑志军

2016年1月8

 

A:麦克劳林展开

ln(1 + x) = x-x2/2 + x3/3 -x4/4 + x5/5-x6/6 + ...

= Sum[(-1)^(n-1)x^n/n,{n, 1, Infinity}]

exp(x) = 1 + x + x2/2! + x3/3! + x4/4! + x5/5!+ x6/6! + ...

= Sum[x^n/n!, {n,0, Infinity}]

B:估算 ln 2

可以用下式来估算 ln 2,推导过程将在以后给出。

ln 2 = Sum[1/n*0.1^n*(4-3*(-0.8)^n+0.4^n), {n,1, Infinity}]

求和中取1项给出0.68,取2项给出0.6912,取3项给出0.693067,取4项给出0.693137,取5项给出0.693147,取的项越多越逼近于精确解0.69314718...




https://wap.sciencenet.cn/blog-510472-951547.html

上一篇:离开计算器可以走多远:1391237759766345^(1/14)
下一篇:将热力学公式打包带走:NVS法
收藏 IP: 202.38.87.*| 热度|

该博文允许注册用户评论 请点击登录 评论 (0 个评论)

数据加载中...

Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备07017567号-12 )

GMT+8, 2022-12-3 20:06

Powered by ScienceNet.cn

Copyright © 2007- 中国科学报社

返回顶部