Dr. Zhijun Zheng分享 http://blog.sciencenet.cn/u/zjzheng9805

博文

离开计算器可以走多远:1391237759766345^(1/14)

已有 3193 次阅读 2016-1-20 18:44 |个人分类:应用数学|系统分类:科普集锦| 估算

离开计算器可以走多远:1391237759766345^(1/14)

 

2014年一档电视节目《最强大脑》的第3期中有一道估算题:1391237759766345^(1/14)。“中国雨人”周玮给出的结果为12.0…,震撼全场。如果手头有个科学计算器,那是相当轻松可以算出结果12.0690…。这是一个16位的数要开14次方的问题,普通计算器可不行。

如果没有计算器,不是周玮的我们该怎么算呢?2014年秋季,这个例子走进了研究生课程《高等应用数学》的课堂,也是震撼全场。实际上,这个问题对于本科生来讲就该是小菜一碟了的。这或许反映出数学的工具性教育所带来的盲目吧?!在大学数学复习课上讲这个例子,一方面是复习泰勒展开,因为泰勒展开是整个学期里需要信手拈来的最主要的工具,没有之一;另一方面是突出级数法,当年牛顿就是从级数起家,进而一步步奠定他作为应用数学鼻祖的地位。若熟悉函数 ln(1+x) 和 exp(x) x = 0 附近的泰勒展开(见附A),可轻松解答该开方问题。

牛刀小试。粗略算算 P = 14^(1/14)。利用指数和对数函数的性质,将 P 改写为:

P = exp[(ln 14)/14] = exp [(ln 10+ln 1.4)/14]

其中,ln 10 ~= 2.30 是较为熟知的结果。取 ln(1+x) ~= x,有 ln 1.4 ~= 0.4

P ~= exp(2.7/14) ~= exp(0.2)

取 exp(x) ~= 1 + x

P ~= 1 + 0.2 = 1.2

周玮的结果仅相差10倍?!对的,因为原式可以写成 10*13.91237759766345^(1/14) 嘛。若只要得到结果的整数部分,后面十几位数数字根本就是无用的,而且冥想一下应该就可以得到结果。不过,实际上周玮还精确到了小数点后一位。但如果仔细算算 10P,将可以给出12.07,也精确到了小数点后一位

若取 Q = 13.9^(1/14),来算算 10Q看看精度能提高多少。Q 可以写作:

Q = exp(1/14*ln 13.9) = exp{1/14*[4*ln 2 + ln(1-2.1/16)]}

其中,ln 2= 0.693...也是较熟知的结果,也可以参见附B进行计算。而

ln(1-2.1/16) = ln(1-0.13125) = -0.13125 - 1/2*0.13125^2 +... ~= -0.140

Q 可以进一步写作:

Q ~= exp(2.632/14) = exp(0.188) = 1 + 0.188 + 1/2!*0.188^2 + 1/3!*0.188^3 ~= 1.20678

即结果 10Q ~= 12.0678,精确到小数点后2位。

显然,有纸和笔,还有耐心,想要精确到小数点后多少位都是可以的。

郑志军

2016年1月8

 

A:麦克劳林展开

ln(1 + x) = x-x2/2 + x3/3 -x4/4 + x5/5-x6/6 + ...

= Sum[(-1)^(n-1)x^n/n,{n, 1, Infinity}]

exp(x) = 1 + x + x2/2! + x3/3! + x4/4! + x5/5!+ x6/6! + ...

= Sum[x^n/n!, {n,0, Infinity}]

B:估算 ln 2

可以用下式来估算 ln 2,推导过程将在以后给出。

ln 2 = Sum[1/n*0.1^n*(4-3*(-0.8)^n+0.4^n), {n,1, Infinity}]

求和中取1项给出0.68,取2项给出0.6912,取3项给出0.693067,取4项给出0.693137,取5项给出0.693147,取的项越多越逼近于精确解0.69314718...




https://wap.sciencenet.cn/blog-510472-951545.html

上一篇:离开计算器可以走多远:x + ln x = 0
下一篇:离开计算器可以走多远:1006^(1/5)
收藏 IP: 202.38.87.*| 热度|

该博文允许注册用户评论 请点击登录 评论 (0 个评论)

数据加载中...

Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备07017567号-12 )

GMT+8, 2022-12-3 21:06

Powered by ScienceNet.cn

Copyright © 2007- 中国科学报社

返回顶部