为什么是量子？物理人大多会有这样的感慨，尤其是面临这门考试的学生们。记得有个学生说：我每题都做出来了，但是每题的结果又都不确定是否正确。我要说，恭喜你，看来你领悟的量子的本质，因为她本身就是不确定的。

那什么是量子呢？相信每个物理人都被外行人（未经过物理本科教育的人）这样问起过。这个问题怎么回答呢，相信大家不会去提薛定谔的y，更不会讲海森堡的矩阵。不确定关系？这个可以有。但是第一下反映在头脑里的应该还是普朗克的黑体辐射，或者爱因斯坦的光量子，抑或是波尔的氢原子。至少这样子说明是最省事的，也是最贴近原意的。量子这个词本身就有离散、不连续这样的含义——一个物理量最小而不可分割的单元称为量子。对于普朗克或者爱因斯坦来说，量子就是ħn。这真是一个可怕的想法，一下子把我们的世界弄得支离破碎了，实在很难让人接受，而就连她名义上的生父普朗克也不愿与之相认。（爱因斯坦反对量子论是因为她的不确定性。）

世界究竟是不是连续的呢？而连续的世界又是否和量子论相矛盾呢？以大多数人的经验来说，我们都会相信世界是连续的。有人说了，量子论一般只适用于很小的尺度下，是不是在原子分子或者更小的层面上，世界就不再连续呢？

 我们来看一下经典世界的连续性是怎样的。我们看见一只牛（尚未肢解），还处于完整的状态，那么牛是连续的。但是这只牛在庖丁眼中就不是“全牛”了，而是一块块的牛肉，这是因为庖丁能够做到“以无厚入有间”，牛就不再是连续的了。一位妙龄少女的皮肤应该是光滑细腻的，无论是看上去还是摸起来。但是如果在高倍显微镜下，这少女的皮肤看起来就像干涸的土地或者月球的表面，更细微的观测，那么仅仅是各种分子，原子等等的组合。这样看来，经典的连续性是建立在某个尺度上的，一旦进入了更小的尺度，那么连续性可能就不复存在了。这样的定义的连续性是和尺度有关的，似乎并不是那么合适。（我承认，上面的例子很不恰当。）那么应当怎样去定义连续性呢？

有一点需要注意，前文一直在使用量子或者量子论这样的称谓，而并没有提到一个我们更加熟悉的名词——量子力学。因为在量子论中，万有引力、电磁力的形式和经典力学并没有什么不同，并且量子论也同样遵守牛顿定律。也就是说量子论在力学上并没有创新，而她和经典物理所不同的仅仅在于统计的方法上的区别，所以称之为量子概率论似乎更为合适。下面我们就要从概率的角度定义世界，看看自然界为什么要选择量子。

很抱歉，这里我不得不请出一位老朋友——薛定谔先生的那只可怜的猫，虽然他已经在不死不活的状态下被折腾了近百年。

在经典的世界里，无论是白猫黑猫，他只有两个选择，to be or not to be，再没有第三个了。无论是活蹦乱跳还是气息奄奄，我们都判定这只猫是“活”的，而只有在他咽下了最后一口气的时候我们才能判定他是“死”了。用经典概率论描述，这只猫有两个“态”：“活”和“死”（这是两个纯态），并且一般还能够说明（或者大致说明）其分别处于“活”与 “死”这两个“态”的概率。

刚刚那只猫如果不幸的处于某列追尾动车的第一节车厢内（和他在薛定谔先生那里遭遇的不幸似乎异曲同工），根据当时列车的相对速度，这只猫在车厢所处的位置，以及其肌肉骨骼的强度，运动和自我保护的能力，救援工作的细致程度，还有同车厢一起被掩埋的时间长短，等等因素的综合考虑，我们得出结论：这只猫成活的概率应该是大约百分之一。这仅仅是概率，并不是说出现一百次这样的追尾就一定有并且只有一只猫能够活下来，也不意味着这只猫（如果）被救下来后就一定奄奄一息（还剩下百分之一的命）。当然这只猫如果活下来了，在概率上可以说是一个“奇迹”，但对于他自身来说，他就是活的，而活着就是全部。

这是经典的概率论，经典的概率论往往是由于太多的研究对象，或者太多的不确定因素而只能得到的一个统计意义上的结果。对于大数来说，统计的结果会趋向于一个稳定的值（这里我们不考虑混沌），但是对于每个个体，他们都处于某个确定的“态”，这种所谓的概率是一种“无知”的概率。而在量子的世界里，即使是一个最为简单的系统，并且所有条件都已经确定的情况下，最后的结果仍然是不确定的，必须用概率来表述，这里才是本质的概率。

为了建立概率的模型，我们必须要考虑另一种情况，如果这只可怜的小猫和车厢一同被掩埋了，没有被发现。虽然火车票已经是实名制了，但这只猫估计不会在名单之列，那么就没有人知道他的生死，甚至没人知道到底是否存在过这只猫，而他在这个世界上的所有信息也全都消失了，这种现象叫做测量的丢失，而这种状态概率上称之为“空”态。现在小猫多了一种选择——“空”。“空”的出现使得其处于“活”态的概率加上处于“死”态的概率可能会小于一，也就是取消了归一化条件这一限制。

我们把上面那只猫缩小到原子的尺度（如果那还能称之为猫的话），那么情况就完全不同了。现在这只可怜的小猫就处于所谓的“不死不活”的状态了——当然，那是在他被挖出来之前。他的状态可以写成如下我所熟悉的形式：

，

这里我们用表示“活”态，表示“死”态，而表示“空”态。其中“空”态所有的元素都是零，可以在表达式中省略。而a模方与b模方分别表示处于“活”态以及“死”态的概率，并且由于“空”态的存在，其概率和小于等于一。

上面我们以薛定谔猫为例，分别以经典和量子概率论对态进行描述。对于经典的态来说，“活”态与“死”态之间有着明显的界限，所谓人鬼殊途；而在量子概率论中，则可以通过连续的改变a模方与b模方的值使得猫从“活”态连续的变换到“死”态。这样看来，在概率上对态的描述中，经典世界反而是“分立”的，而量子世界则是“连续”的了。或者有人说可以在经典的“活”态与“死”态之间建立一系列的中间态，比如以“生命力”作为序参量定义无穷多个连续的中间态，这样是否就能够将经典的“活”态连续变换为“死”态呢？这种方式看似可行，实际上却引入了无限多的冗余信息，因此这样定义的中间态是不被允许的。现在似乎有这样的“奇怪”的结论，经典的概率论意味着态的离散，而在量子论中我们才能做到态之间的连续变化，而前面所说诸如能量的量子化，只不过是要求态的连续性的一个附带的结果。

这样看来，量子论似乎比经典理论更能满足我们对世界连续性的描述，但是世界为什么要用量子来描述，而不是别的什么，还有没有更加合适的或者更进一步（就像量子论相对于经典理论来说）的理论？下面我们将从概率论的构建开始讲起。

在构建经典或者量子概率论之前，我们先要明确两个概念。这两个概念很容易被混淆，因为他们在经典理论中似乎并没有什么不同，但在量子论中却代表着截然不同的含义。第一个量被称为自由度，指的是“确定态所需要的最少的测量概率数目”，记作K；第二个量是维度，即一次测量中能分辨出的态的最大数目（这个定义要求“空”态出现的几率为零），记作N。比如一个在空间中自由运动的粒子，它的自由度是3，对其位置进行测量，表示空间坐标的状态也是3个——x，y，z。双原子刚性分子的自由度是5，而其表示空间坐标的状态也5个，6个坐标（只要知道其中任意5个就可以了）。这样看起来，概念似乎很模糊（主要是我表述的很模糊），需要同量子概率论结合起来看看K与N的关系。

对于薛定谔猫来说，无论是经典的还是量子的概率论，态都可以写成下面的形式：

。

对于经典的猫来说，a和b是（非负的）实数，而量子的则为复数。

这是一个典型的二能级问题，只有“生”和“死”两个纯态（一般情况“空”态不被认为是一种态），很显然，无论对于经典还是量子的猫，其维度都是2，即N=2。如果想确定态y，就必须知道a和b的值，而需要的测量次数就是自由度，即K的值。

对于经典的情况我们可以做如下的两次测量：

。

这样a和b的值都知道了，而态y的所有信息也就确定了，此时K=2。推广起来也很容易，对于一个N态系统（维度为N），则有K=N。

对于量子论来说，仅仅做上面的测量就不够了，因为此时a和b为复数，而测量的期望值则只能是实数。所以上面的两次测量只能得到a和b的“模”，而不能得到态的全部信息。量子论认为，如果知道了密度矩阵，就可以确定一个态的全部信息。上述问题的密度矩阵可以写为

。

这是一个厄米矩阵，其对角元为实数，需两次测量，而非对角元ab^*与a^*b共轭，需两次测量（确定实部与虚部）。对于一个N态系统，则有K=N²。

现在，我们得到了如下结论：对于经典概率论，有K=N；而量子概率论则有K=N²。这一结果有着深刻的含义。

打断一下，这里插播一则消息：“很不幸的告诉大家，刚刚在清理车厢的过程中，一只遇难猫的遗体被发现。”之前创造奇迹的那只小猫是只白猫，我们称之为猫A；而这只不幸的小猫是黑猫，他是在车厢吊起的过程中从夹缝中掉出来的，我们称其为猫B。现在我们研究的是猫A与猫B所组成的复合系统。在样的复合系统中，其维度以及自由度显然要满足如下的关系：N=N_AN_B，K=K_AK_B。

其中下表A、B分别代表子系统A与B中的情况。如果我们认为自由度是维度的函数，并且在满足上述两式的同时，函数只能取如下的形式：K=N^r。数学上的单调性要求r>0，而N与K只能取整数，所以这里的r也只能为正整数。如果我们仍然对物理学抱有简单性信念，即r应该能是其能取到的最小的值。当r=1的时候，有K=N，我们得到了经典物理；而态的连续变换的要求则需要r=2，即K=N²。这正是上述函数所能取到的两种最为简单的形式。

我们完全可以相信事情到此还远远没有结束，因为物理学还有太多的问题没有得到解答，比如如何将量子论同相对论结合在一起，就像量子论是对经典理论的非对角元修正一样，新的理论会不会也有着类似要求，比如K=N³？

注：本文的很多想法以及内容来源于《宇宙极问——量子、信息和宇宙》，湖南科学技术出版社，2009年3月第1版。