----写在《二型模糊集合的一些基本问题》发表之际

   （作者按：写这篇博客，亦是一个艰难的心理历程。J.M.Mendel是美国南加州大学电气工程与系统建筑工程教授，IEEE Life Fellow, Distinguished Member of  the IEEE Control  Systems Society, 在二型模糊逻辑与控制领域辛勤耕耘十八载有余，培养了一大批像王立新（中国科学院大学资源与环境学院教授）、Dongrui Wu(华中科技大学自动化学院)一样的优秀学子，十年前，我们是通过阅读J.M.Mendel的论文进入到二型模糊集合的研究领域的，从一定程度上来说，J.M.Mendel的思想是照耀着我在二型模糊集合这条道路上前行的指明灯, 是我们开展二型模糊集合研究的启蒙导师。十多年来，J.M.Menel为读者介绍了他所带领的团队在二型模糊集合领域的研究进展，虽然由于认知的局限性，在二型模糊集合方面，J.M.Mendel与我们有不同的学术见解，但是J.M.Mendel一直都是一位让我们内心充满敬意的前辈学者。本博文只是介绍J.M.Mendel与我们之间学术分歧的本源。）

当我们的论文“Footprint of uncertaintyfor type-2 fuzzy sets ”(InformationSciences,2014,  272:96-110）发表后不久，收到了审稿“Critique of ‘Footprint of uncertainty for type-2 fuzzy  sets ’”的邮件。在该文中，J.M.Mendel指出了我们论文中的一些文字与表述的失误，在此，我们全部接受并表示诚挚的感谢。对于文中的学术观点，实在难以苟同。道理不辩不明，为了更好地让读者了解二型模糊集合，最后还是推荐该文的发表，见Information Sciences, 2015, 308:1-2。

在审稿的过程中，其中的一篇参考文献On clarifyingsome definitions and notations used for  type-2 fuzzy sets as well as somerecommended changes引起了我的兴趣，当时该文显示处于“录用待发表”的状态，待其于2016年约1月份在线，阅读过后觉得自己担心的事情发生了：J.M.Menel选用了修改主隶属而保持了FOU原有公式，具体的做法如下：

1）引入一个新变量 $I_{x}$ 来取代原来的 $J_{x}$ ，修改了与主隶属相关的三个非常关键的定义与公式,见原文；

2）推荐了DOU，并说明与FOU的区别，且两者均为次隶属函数支集；

3）给出了 $I_{x}$ 与 $J_{x}$ 的新定义;

                          $I_{x}=\left \{ u\in [0,1]|\mu _{\omega }(x,u)>0 \right \}$

                      $J_{x}=\left \{ \left ( x,u \right )|u\in [0,1],\mu _{\omega }(x,u)>0 \right \}$

4) 推荐采用二型模糊集合的另外一个定义

                    $\omega =\left \{ \left ( \left ( x,u \right ),\mu _{\omega }\left ( x,u \right ) \right )|x\in X,u\in [0,1] \right \}$

说明：1）其实不止原文中三个定义需要修改，在On clarifying  some  definitions  and  notations  used  for type-2 fuzzy  sets  as well as   some  recommended  changes 中三个表格中绝大多数的 $J_{x}$ 都需要修改;

2）该文强调DOU，弥补之前未区分DOU与FOU的疏漏，希望说明FOU可以由其上下边界唯一确定，而DOU未必。

3）由 $I_{x}$ 与 $J_{x}$ 的定义知，二者均以次隶属函数为基础进行的，但是对于一个一般二型模糊集合，人们很难给出其次隶属函数的表述式，也就更难给出在此基础上的 $I_{x}$ 与 $J_{x}$ 的表达式。

4）二型模糊集合的这个定义没有给出隶属函数的取值范围，尽管众所周知隶属函数的取值范围在[0,1], 但完善的定义需要给出这个限制条件；至少没有包括离散二型模糊集合，新定义要求次变量所在定义域连通，离散二型模糊集合显然不符号条件，因此，J.M.Mendel又给离散二型模糊集合补充了一个定义；新定义等价定义在论域X与[0,1]的笛卡尔积上的一个一型模糊集合。

为了方便给出一般二型模糊集合的表述式，由于上述原因，需要我们从不同的角度给出二型模糊集合的定义、分类、表述及相关性质的介绍。这也是我们发表论文《关于二型模糊集合的一些基本问题》（自动化学报，2017，43(7):1114-1141.)的初衷，详情请参见相关网址http://www.aas.net.cn/CN/article/downloadArticleFile.do?attachType=PDF&id=19087.

下一篇将具体介绍《关于二型模糊集合的一些基本问题》的特色，欢迎大家给出宝贵的意见和建议，非常谢谢！

参考文献：

1 HongMo, Feiyue Wang. Representation of type-2 fuzzy sets and operations. 2009年中国智能自动化会议论文集（第一分册）

2 莫红,王飞跃,赵亮. 一一映射下区间二型模糊集合的语言动力学轨迹. 模式识别与人工智能. 2010,     23 (2):144-147.  

3 莫红,王飞跃,肖志权,陈茜.基于区间二型模糊集合的语言动力系统稳定性.自动化学报. 2011,  37(8):1018-1024.

4 莫红,王涛.广义区间二型模糊集合下的词计算.自动化学报, 2012, 38 (5):707-715.

5. H Mo,M Zhou. On the definition of type-2 fuzzy set. Proceeding of the 10^thWorld Congress on Intelligent    Control and Automation. PP: 601-605, Beijing, 2012.

 6. 莫红.时变论域下的语言动力学轨迹.自动化学报,2012 ,38 (10) :1585-1594.

 7. 莫红,王飞跃. 语言动力系统与二型模糊逻辑. 北京:科学技术出版社, 2013.

8. H. Mo, Feiyue Wang, M. Zhou,etal. Footprintof uncertainty for type-2 fuzzy sets.  Information Sciences,   2014,   272:96-100.

9. H. Mo, J. Wang, X. Li,etal. Linguistic dynamic modeling andanalysis of psychological health state using interval   type-2 fuzzy sets. IEEE/CAA Journal of Automatica Sinica,  2015,  2 (4):366-373.

10. 王飞跃,莫红. 二型模糊集合的一些基本问题. 自动化学报, 2017, 43(7):1114-1141.

11. F Peng, H Mo, D Tan. Satisfaction assessment and analysis forpower customer based on interval type-2  fuzzy  sets.   International Conference onInformative & Cybernetics  for  computational  social systems, 2014:1-6.

 12. X Li, H Mo, F H Zhu. Interventions of trafficflow for intersection based on interval type-2 fuzzy sets.International Conference onInformative & Cybernetics for computational social systems, 2014:18-23.

 13. H Mo, M Zhou. On the definition of type-2 fuzzy set.Proceeding of the 10^th World Congress on Intelligent Control  and  Automation.   PP: 601-605, Beijing,2012.