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引潮位(tide generating potential)

已有 4149 次阅读 2016-5-18 13:53 |系统分类:科研笔记

引潮位

对于一个二体问题,地球和月球绕它们的质心作圆轨道运动,月球对地球质心的引力维持着地球的轨道运动。同时,月球对地球任意一点也有引力作用。而月球对地球任意一点与对地球质心的引力之差就称为引潮力,它可用一个矢量表示。由于引力是一种保守力,因此引潮力也是保守力,所以有一个标量与引潮力相对应,这个标量的梯度就是引潮力,这个标量就称为引潮位。

   设O为地球质心,P为月球质心(由于天体之间的距离较远,因此月球可以看成质点),A为地球上的任意一点,OA的距离为rAP的距离为lOP的距离为r0AP的地心夹角为 $\vartheta$ (也叫地心天顶距),那么月球对A点的引力位和引力分别为

$V_A=\frac{GM_m}{l},f_A=\frac{GM_m}{l^3}\vec{l}$

其中,G是万有引力常数,Mm是月球质量。月球对地球质心的引力位和引力分别为

$V_O=\frac{GM_m}{r_0},f_O=\frac{GM_m}{r_0^3}\vec{r_0}$

所以月球对地球的引潮力为

$f^T=\frac{GM_m}{l^3}\vec{l}-\frac{GM_m}{r_0^3}\vec{r_0}$

W表示引潮位,xy表示A点坐标,则W的梯度就是 $f^T$ ,即

$\frac{\partial W}{\partial x}=\frac{GM_m(r_0-x)}{[(r_0-x)^2+y^2]^\frac{3}{2}}-\frac{GM_m}{r_0^2}$

$\frac{\partial W}{\partial y}=-\frac{GM_my}{[(r_0-x)^2+y^2)]^\frac{3}{2}}$

由上面第一个等式对x积分可得

$W=\frac{GM_m}{[(r_0-x)^2+y^2)]^\frac{1}{2}}-\frac{GM_m}{r_0^2}x+F(y)$

其中, $F(y)$ 是待确定的函数。由上面第二个等式对y积分可得
$W=\frac{GM_m}{[(r_0-x)^2+y^2)]^\frac{1}{2}}+F{}'(x)$

$F{}'(x)$ 也是待确定的函数。显然,由这两个等式积分获得的引潮位应该相等,所以

$F{}'(x)=-\frac{GM_m}{r_0^2}+F(y)$

显然,当A点位于O点(x=0,y=0)时,W=0,由此可以确定

$F(y)=-\frac{GM_m}{r_0}$

因此,最终A点的引潮位即为

$W=\frac{GM_m}{[(r0-x)^2+y^2)]^\frac{1}{2}}-\frac{GM_m}{r_0^2}x-\frac{GM_m}{r_0}$

$W=\frac{GM_m}{l}-\frac{GM_m}{r_0}(1+\frac{r}{r_0}cos\vartheta )$

可以将月球对A点的引力位展开为球谐函数级数,

$V_A=\frac{GM_m}{r_0}\sum_{n=0}^{infinity}(\frac{r}{r_0})^nP_n(cos\vartheta )$

所以引潮位为

$W=\frac{GM_m}{r_0}\sum_{n=2}^{infinity}\frac{r}{r_0}P_n(cos\vartheta )$

可以看出,月球对A点的引潮位即为月球对A点引力位扣除0阶项和1阶项之后的剩余部分。

   我们也可以从另一个角度来看引潮位。从月球对A点的引力位可以看出,对于0阶项,由于它是一个常数(与地球上任意点的坐标无关),因此其对应的引力为0,所以不会引起地球的潮汐形变;对于1阶项,用A点坐标(余纬 $\theta$ 和经度 $\lambda$ )和月球坐标(余赤纬 $\delta$ 和赤经 $\lambda _m$ )表示 $cos(\vartheta )$ ,即

$cos(\vartheta )=cos(\theta )cos(\delta )+sin(\theta )sin(\delta )cos(\lambda -\lambda _m)$

所以

$W_1=\frac{GM_m}{r_0^2}r[cos(\theta )cos(\delta )+sin(\theta )cos(\lambda )sin(\delta )cos(\lambda _m)+sin(\theta )sin(\lambda )sin(\delta )sin(\lambda _m)]$

根据球坐标与直角坐标的转换关系

$\left\{\begin{matrix}x=rsin(\theta )cos(\lambda ) \\ y=rsin(\theta )sin(\lambda ) \\z=rcos(\theta ) \end{matrix}\right.$

转换到直角坐标系下,有

$W_1=\frac{GM_m}{r_0^2}[zcos(\delta )+xsin(\delta )cos(\lambda _m)+ysin(\delta )sin(\lambda _m)]$

x, y, z求偏导数后可以发现1阶的引力是与A点坐标(此时为转换到直角坐标系下的xyz)无关的,只与月球的位置有关。也就是说,月亮对地球任意一点的1阶引力是大小相等,方向相同的,因此它使地球作平动而不产生变形。这个引力正是维持地球轨道运动的力。所以能够引起地球变形的引潮位是从2阶项开始的引力位。

对于太阳或其他天体的引潮位,也有类似的公式。所以只要知道A点的坐标,天体的位置,我们就可以计算A点的引潮位,进而计算地球表面或内部的各种潮汐量,如重力、位移、倾斜等。



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