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【数学都知道】2016年10月4日
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作者：蒋迅
以往的【数学都知道】在这里。《数学文化》的掏宝网址是：https://shop137795018.taobao.com/。
丘成桐 与数学
路透社近几个月越发热衷于在每一次数据看起来显示对希拉里不利时调整民调方法。但是最近一次路透社“微调”民调真的令人大吃一惊。用尽方法狡猾地调整问题和类别以动摇受访者的偏好方向的路透社现在又通过改变民调样本，将不成比例数量的民主党人纳入民调对象之中，从而达到公然更改民调的目的。文章来源: 凤凰国际
一块蛋糕切N刀，最多可以切多少块？要研究这个问题，我们可以先把问题简化一下。这个问题简化下来的第一个层次是，如果要求所有的刀痕都平行，那能切成多少块？
撞击太阳很难 (视频)
这是一个视频。问题是：我们可以冲出太阳系，为什么无法撞向太阳？
据新研究表明，重大社会崩溃可通过早期警告标志的统计进行预测。该文使用欧洲新石器时代──当时的剧烈变化导致了大范围的社会崩溃──的考古证据以预测一个社会是否濒临解体。五维球上的运筹者：网页链接Our study finds evidence that statistical signatures of decreasing resilience can be detected long before population decline begins.To our knowledge, this study is the first to find early warning signals of demographic regime shift
这个趣题出自 Using your Head is Permitted 谜题站 2016 年 8 月的题目，稍有改动。Matrix67的另一篇：趣题：为什么偏偏是 6 格？。
游泳比赛的规则是，最好成绩的运动员排在中间，因为在中间受到的不利因素最少。但在两边的运动员受到的影响也是不一样的。北京奥运采用了10条泳道，这是较为合理的。
如何将一些相同的小圆装进一个大园里？显然这与小园的数目和半径有关。人们已经做了系统的研究。快乐的猫咪问：不同颜色代表什么意义？谁能回答？
现在大小公司面试的时候都喜欢出一套题让申请人做。然后是一套算法决定申请人的命运。考大学时也是这样，一套SAT、GPA等等一套算法决定了高中生能否进入一所名校。
谈特徵向量和特徵值的文章很多了，但这篇有点特色：你可以抓住向量移动，然后看效果。
对一类n-皇后问题 (八皇后问题) 的解导致了费尔马的一个素数定理的证明。
这是一本非常有趣的书，里面甚至包含了一个小测试，区分一个程序员到底是保守派还是自由派。一共有十个问题，每个问题都有 A 和 B 两个选项，请选择你的答案。
这里说的军备竞赛不是军事上的意思。在讨论进化军备竞赛时，通常认为的是捕食者 - 猎物的相互作用。经过很多代，捕食者试图开发出更好的进攻，而猎物则更好的防守。但是，这些选择压力，可以引起物种进化一些极端的性状。
我们都习惯了10进制，计算机则使用了二进制。你知道吗，还有一个黄金进制。虽然黄金进制使用无理数作为基底，任何非负整数在黄金进制下都可以表示成有限小数。所有有理数则都可以表示成循环小数。还有一些奇妙的性质。你也可以做个练习。
2009年，美国数学家 Robert Ghrist做了一个演讲： Network Topology, Sensors and Systems。在这个演讲中，我们知道了，一些离散的点集中也可以有一个洞。
Izabella Laba是一位在不列颠哥伦比亚大学的工作的优秀数学家。她的研究跨越多个领域，如调和分析，几何测度论，数学物理，和相对较新（但快速突破）的加法组合。她的博客是：https://ilaba.wordpress.com。
利用量子力学的无法预测属性，意大利和西班牙团队开发出了集成电路能产生真随机数。随机数对於确保数据安全的加密方案至关重要。今天的随机数生成方法都称不上完美，很多时候你只需要等待足够长的时间，就可以发现数据之间的关联，这些信息最终能帮助你破解随机数生成方案。根据定义，量子物理学是无法预测的，你无法根据目前的信息猜测出未来的数字。量子随机数生成器并不是今天才有，但研究人员的目标是可携性，有朝一日可以将其整合到移动设备上。研究报告发表在《Optica》期刊上。
拉弗曲线（英语：Laffer curve）描绘了政府的税收收入与税率之间的关系，当税率在一定的限度以下时，提高税率能增加政府税收收入，但超过这一的限度时，再提高税率反而导致政府税收收入减少。因为较高的税率将抑制经济的增长，使税基减小，税收收入下降，反之，减税可以刺激经济增长，扩大税基，税收收入增加。但问题是难以判断税率是否超过了限度。
集锦很漂亮。可以下载。
过多的数学博士造成了大学数学教授市场的瓦解。虽然说的是美国，但好像中国的博士数量已经超过美国了。中国就没有类似的问题吗？
2015年夏天，一组黑客尝试控制一架军用无人直升机。黑客已经抢得了一个先机：他们已能访问无人机的部分计算机系统，他们所需要做的是入侵无人机的机载飞行控制计算机，然后无人机就是他们的了。在美国国防部高级研究计划署（DARPA）发起的这个项目的早期，“红队”黑客们就像入侵你的家庭无线网络那样轻而易举的控制无人机。但随后的几个月，DARPA的工程师实现了一种新的安全机制──一种无法用现有技术破解的软件系统。它的代码就像数学证明那样可靠。即使给予红队六周的时间访问无人机及其网络系统，他们仍然无法破解其防御。DARPA准备将这项技术应用于更多的领域。挫败黑客们的编程技术叫形式化验证，今天的大部分程序代码都是非形式化的，对其的评估主要是基於它是否能工作。形式化验证代码读起来就像是数学证明。整个程序的测试具有与数学家作证明同等的确定性。
这个12岁的美国小孩要证明无穷级数 $sum_{n=1}^{n=infty}{frac{sin(2n)}{1+cos^4(n)}}$ 收敛。但他的证明对吗？无论如何，12岁可以做这些已经惊人了。他还有自己的频道。
考虑这样一个序列：sin(x),sin(cos(x)),sin(cos(sin(x))), ..., sin(cos(sin(cos(...sin(x))))), ... 这个序列收敛吗？有人说它收敛到0.69481969073079...。当序列从cos(x)开始时，情况又是怎么样呢？
复数C是实数R的代数完备化（包含R的拷贝的最小代数闭域）。把这套理论更一般地应用到一些局部紧阿贝尔群上对角化任意平移不变算子，我们就到达了傅立叶分析，这是因为复值函数，而不是实值，是最自然的表述。246A, Notes 1: complex differentiation，246A, Notes 2: complex integration
伟大的数学家牛顿大概对概率问题没有深入研究。这里是他谈骰子的故事。
你看过哈哈镜吗？就是那种把你的影像扭曲起来的那种。这里有一个类似的应用，叫作“Function Explorer”，就是通过不同的函数映射达到相同的目的。不过，你需要用你的摄像头。今天还有一套游戏，都与射影几何学有关。比如这个，你得到13张卡片，每张卡上都有四个符号。你去掉其中的四张，然后将剩下的九张卡按3X3的格式摆好，使得每行、每列以及对角线上，相邻的两张卡都只有一个符号是相同的。不简单呢。最后，避免交通堵塞的课题里有许多数学。你有兴趣研究吗？帮你可以考虑当一名土木工程师。
双面4 模，或双D4（Sphericon）是一种具有可展曲面的立体，它有两个全等且垂直的半圆棱边和四个在一个正方形上的四个顶点。听起来很复杂，但其实您可以制作一个呢。双面4 模是国家曲线库中的一员。这里有形形色色的曲线及其动态图片。
霍普金斯大学的一群科学家通过对17位天生失明的人的核磁共振成像的研究发现，当参与者被要求解决代数问题时，视觉皮层的区域变得活跃；而且当方程越来越难时，这个区域也变得更为活跃。
以前只知道美国的州际高速公路的编号是横单竖双，从下到上，从西到东。没想到，还与素数有关。
没有觉得展览非常惊人，但他们所做的事情值得推荐。
投影矩阵（Camera Matrix）是一个 3x4 的矩阵，用来表示在针孔相机 (Pinhole Camera) 的成像过程中，物体的 3维座标点，会成像在 相机 2维成像平面上的哪个位置。介绍：ABCD。相关阅读：从投影矩阵计算基本矩阵。行列式的几何意义
帕斯卡四面体，一个帕斯卡三角 (杨辉三角形) 的三维推广。一个短视频：Pascal's tetrahedron，但可能被墙。不知能不能称之为“杨辉四面体”？
数学上，图（一些点和边的集合）与特殊矩阵有很深的联系。
没有别人，只有拉马努金。
如果将数学学习的好坏仅仅理解为“刷题”的数量和速度，那充其量也只能成为一名熟练的数学工匠。我们所受的数学训练，所领会的数学思想和精神，所获得的数学教养，无时无刻不在发挥著积极的作用，成为取得成功的最重要的因素。数学教育看起来只是一种知识教育，但本质上是一种素质教育。以传授与学习数学知识为载体，通过严格认真的数学学习和训练，可以使学生具备一些特有的素质和能力。相关阅读：如何用数学知识提升情商？数学学霸们的6大思维习惯，数学与生活 | 行李箱的密码锁乱了怎么办，用数学的眼光看世界 别有洞天。
初等数学
Evelyn Lamb是一位著名的数学科普写手。她总结了自己写的数学艺术的文章，罗列在这里。
正规的、非正规的、6面的、多面的，在这里你可以看到各色各样的骰子。立方和算是一个无字证明吧。不必多说。叠出一个双多面体可不容易。
秘鲁数学家哈洛德·贺欧夫各特在2013年彻底解决了有271年历史的弱哥德巴赫猜想，一举成名。他没有停留在成绩上，而是继续在这条路上更进了一步，他改进了筛法，接触了计算机储存的限制。
2016年9月14日，Tom Greer发现了一对新的孪生素数：2996863034895X21290000 ± 1。它们有388,342位数，比以前的记录多了200,700位。
陶哲轩6月4日宣称川普不适合当美国总统。川普6月5日反驳说，陶神的攻击是因为他无法证明挂谷猜想。这条微博显然不是川普亲自写的，但他的班子里肯定有数学大拿。相关阅读：挂谷集合 (Kakeya set)，1917年日本数学家挂谷宗一(Soichi Kakeya)提出了如下的问题：设某个日本武士在上厕所时被偷袭，他只能挥动长为1的武士刀应战。请问在他将刀挥动一周的过程中，扫过的面积最小为多少？用数学语言描述的话，这其实就是下面的问题：设平面点集S在每个方向上都含有一条长为1的线段(这样的集合称为Kakeya集)，请问S的面积(测度)最小为多少？
标题不太准确。其实就是尺规作图。做出一种美。当然不是真地用一把尺子和一个圆规。作者使用的是R语言和ggplot。源程序在这里
１９０９年，鲁迅从日本回国时，曾带回了长泽龟之助馔著的《代数学辞典》等三本精装的数学书籍。到绍兴府中学堂工作后，鲁迅就割爱把这些书馈赠给青年学生王铎中，对他说，你年纪轻，记性好，要抓紧时间多看些书。看书的面也可广一点，基础广而坚实，专也容易了。王小波曾在访谈中也提到一本数学辞典。王小波和麦家是成功将数学融入小说中作者。他们都对数学有过较深入的学习。王小波的文字简洁达意，也或许与他学习过数学有关。
理查德·盖(Richard Guy) 是英国数学家，现在加拿大任教授。数学玩家的制胜之道(Winning Ways for your Mathematical Plays)。 相关阅读：今年一百岁上卡尔加里塔的照片，95岁时上塔的故事
这可以说是美国数学会推荐的推特账号。我自己准备把它们过一遍。
【重磅】谷歌发布Open Images图片数据集，包含9百万标注图片
继前天发布800万视频数据集之后，今天，谷歌又发布了图片数据库Open Images，包含了900万标注数据，标签种类超过6000种。谷歌在官方博客中写到，这比只拥有1000个分类的ImageNet 更加贴近实际生活。对於想要从零开始训练计算机视觉模型的人来说，这些数据远远足够了。文中附数据下载地址：https://github.com/openimages/dataset。
数学与艺术MaA
作者“数学与艺术MaA"是一位高中数学老师，是我特别喜欢的网路写手之一。我发的很多微博都是在经过他的转帖之后增加了色彩并被网友们注意到。前一段时间，他消失了，於是我的微博点击量也大幅度下降。现在他重出江湖，并开设了微信公共平台。对数学和艺术内容感兴趣的网友应该跟踪他。
哆嗒作品
人物与历史
如何用数学证明“只可意会，不可言传”？ (哥德尔)
自然界及工业过程中涉及的流动现象大多数都不是单一介质构成，即在流体中往往包含了其他相。如气溶胶、沙尘暴、人工降雨、流化床、煤粉输送、油滴雾化、油气混合等过程。按照物态划分可以将多相流划分为气固、气液、液固两相流甚至气液固三相流，本文主要讨论气固两相流。
二维空间的封闭是圆 ，三维空间的封闭是球，四维空间的封闭是什么？
我这里给出严格数学意义上的归纳。你看完之后，会发现其实四维空间没有你想象中的复杂，要理解四维的球形并不是不可能。
细心的朋友也许会发现，充斥在我们周围的学霸，有的在数学上表现出超乎常人的天赋，有的则在语言的学习上比其他人更轻车熟路，但是数学和语言能力都极具天赋的却并不多。这是为什么呢？最近的一项研究或许可以揭开我们共同的疑问。相关阅读：当文学与数学“相爱”，成语与数学──从“二桃杀三士”说起。
小数点的由来；等於号的由来；加号和减号的由来；乘号的由来；除号的由来；大於号和小於号的由来；小括号、中括号和大括号的由来；圆周率Π的由来；小数点的由来；百分号的由来；角号的由来。你都知道吗？
回顾线性代数的历史基础上，分析了关于线性代数的几个核心问题：第一介绍了几种关于线性代数基本结构问题的看法；第二介绍了关于线性代数的两个基本问题，即“线性”和“线性问题”；第三介绍了线性代数的研究对象；第四分析了线性代数的结构体系。
三门问题，0.000...=1，偶数与自然数一样多，本福特定律，生日悖论，会计/管道工问题，贝特朗箱子悖论，…
“天才设计师”──蜜蜂；蚂蚁和丹顶鹤的算术；珊瑚虫的“日历”；猫和蜘蛛是“几何专家”。
还记得被誉为“皇冠上的明珠”的哥德巴赫猜吗？这困扰了人类200多年的数学谜题，另无数数学家为之疯狂。另外，庞加莱猜想这个被称为21世纪七大数学难题之一，最后由两位来自中国的数学家完成了最后的攻坚。这是中国人对数学界的重大贡献之一。前有陈景润攻坚哥德巴赫猜想、后有朱熹平、曹怀东破解庞加莱猜想。但在此之外，诸如世界七大数学难题，它们就像一道道亮丽的风景，吸引著世界各国的数学家的注意。那么，世界七大数学难题究竟有哪些呢？
看了本微信号9月22日《数学常数e的含义》，也想到在一个场合很神秘地出现常数e，自然对数的底e确实是一个很神奇的数，正如圆周率π一样，经常会出现在各种公式及问题的答案中。下面是一个通俗的策略问题，题目如下：
有一栋十层大楼，每层电梯门口都放著一颗钻石，你只知道每颗钻石大小不一，但是不知道钻石的重量分别是多少。假设你乘坐电梯从一楼到十楼，到达每层楼时，电梯门都会打开一次，你可以在任何一层楼选择一颗钻石(假设每层钻石的重量都在旁边标明)，而且只能选择一次。问采取什么策略，才能以最大的概率拿到最大的那颗钻石？
说到数学，可能想到的是无法理解的公式、还有永远也算不出来的X先生和α先生。但是很少会有人知道。其实数学也有非常柔美华丽的一面！不规则几何元素Fractal，是由IBM研究室的数学家曼德布洛特提出。分形混沌之旋风，横扫数学、理化、生物、大气、海洋以至社会学科，在音乐、美术间也产生了一定的影响。分形所呈现的无穷玄机和美感引发人们去探索。即使您不懂得其中深奥的数学哲理，也会为之感动。
这篇文章首先介绍梯度下降算法的三种框架，然后介绍它们所存在的问题与挑战，接著介绍一些如何进行改进来解决这些问题，随后，介绍如何在并行环境中或者分布式环境中使用梯度下降算法。最后，指出一些有利於梯度下降的策略。
今天给大家分享的是来自《神奇的数学──牛津教授给青少年的讲座》中介绍的一个读心术游戏以及游戏背后的数学原理及应用。
这是《梦想相遇无穷》的一篇书评。本书以无穷概念为基础，以极限方法为工具，以微分积分为核心，以无穷运算为拓展，介绍最简无穷数学即微积分初步的数学文化内涵及其生活应用。全书分4章。第1 章为探索无穷，主要内容包括无穷启蒙、无穷集合及奇妙实数；第2 章为捕捉无穷，主要内容包括数列极限、函数极限与连续函数；第3 章为魅力无穷，主要内容包括微分（屠龙宝刀）、积分（积微成著）及微分方程初步（窥视世界）；第4章为乐在无穷，主要内容包括无穷级数、无穷乘积与无穷迭代。
泰勒级数的物理意义是什么? 就是把方程g(x)=0的解，写成曲线方程的形式看看和x轴有什么交点。例如f(x)=x^2=5等价于g(x)=x^2-5=0和x轴的交点。而这个曲 线交点可以用直线切线的逼近方法(牛顿迭代法)来实现，这就是泰勒级数的物理意义: 点+一次切线+2次切线+...+N次切线。
丁玖：信息熵、波尔茨曼熵及最大熵原则
《我要做数学家》是数学家哈尔莫斯(P R Halmos)的职业自传，完全不涉及生活。今年是他诞辰100周年，去世10周年。哈尔莫斯堪可能不是那种天分很高的顶尖学者，而是踏踏实实工作的职业数学家，教学生、搞研究、写教材、编丛书。用孔夫子的话，就是“多能鄙事”。
举个典型例子，爱因斯坦在他的奇迹年之前有什么基础和条件？他纠结过基础和条件吗？他老人家有个著名论断：提出（发现）问题比解决问题更重要。基础和条件更多的属於解决问题层面的因素，所以即使重要，也不是最重要，甚至不足挂齿。
如何用一句话概括我毕生的草原研究呢？
我曾经对不同听众总结出这样三句话：“多元向量除法”，“3+4=5”，和“向量模”是度量股市更好的指标。
现在似乎可以总结为更简洁的一个提法：多元向量逆。相关阅读：关于“零分量”的讨论。
跟牛顿能发明自己的数学工具微积分相比，爱因斯坦在数学方面算是弱项。据章羿译的《天才的另一面：爱因斯坦》，爱因斯坦在苏黎世工学院学习时，数学可算不怎么样，他的数学教授不客气地称他为“懒狗”。后来，为了论证他的物理理论，他不得不救助于搞数学的马塞尔.格罗斯曼教授（他在苏黎世工学院的密友）。爱因斯坦坦言：“学生时代的我还不明白，更深入地理解物理学的基本原理是同最复杂的数学方法密切联系著的。”
刘进平：高等工程数学 第三版 “第四章 矩阵函数及其应用” 姚仰新等
《高等工程数学》第三版 “第四章 矩阵函数及其应用” 的幻灯片,用Latex中beamer模板编译，为pdf格式，按下组合键Ctrl+L可全屏播放。
集训在鞍山教育学院，地点大致在一中和八中之间更靠近八中些，从八中过去无轨电车3站左右。白天听课练习考试，晚上放学回家。我与杨斌放学时大多一起走，好像是同一部车，但不同的站下。忘记了我为什么不骑自行车了。有次路上还发生比较吓人的事情。一条无轨电车的电缆突然掉下来，落在离我们很近处，在地上还放著电火花。在吃惊之余，我们讨论一番如果砸到了我们会不会被电死，好像也没有什么结论。
两个猜想：（1）如果两个整数没有共同的素因子或它们的共同素因子是第四类素数，那么这两个整数的平方和的所有素数因子都是第四类素数；（2）不存在第一类素数，即所有素数都是后四类素数。
文明以止，人文也。──《易经》。人文：指人类社会的各类文化现象；人文关怀就是关注人的个性、满足人的需求、尊重人的发展。──《辞海》。
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