沉降：人类一直在为你着迷

《创新话旧》第4章（1）

 

温景嵩

南开大学 西南村 69楼 1门 401号

（2007年11月3日 于南开园）

 

 

 

 

 

第四章 创新点（3）──突破巴切勒单分散沉降理论的限制

 

4．1 从亚里士多德到斯托克斯

 

从本章起我们把话题从悬浮粒子的碰并过程，转到悬浮粒子的沉降问题。物体的重力沉降，是自然界中非常重要的现象，人类对此已经有了很长的研究历史。早在两千三百年前，古希腊的哲人亚里士多德对此就做了研究，他的结论是：物体沉降的速度和它的重量成正比。这一认识符合人们的直观。因此，一直被奉为权威的结论，持续了一千多年。直到16和17世纪之交，意大利著名的科学家伽利略做了一个实验，即比萨斜塔实验。他把两个轻重不同的物体带到斜塔上，使它们同时，在相同高度上降落下来，从而发现两者同时落地，推翻了延续了一千多年之久的亚里士多德理论，并且由此而发现重力加速度g。它在同一高度上，对任何物体都相同。接下来就是17和18世纪之交英国剑桥大学的牛顿，他那举世闻名的苹果从树上掉下来打疼头的故事，也可能是真的。直到现在，在剑桥大学他所工作过的著名的三一学院大门口，还有一棵据说是从牛顿家乡移植过来的苹果树，以此来纪念他所由此而发现的万有引力定律。当然我们在第一章中已经说过，牛顿发现物体之间的万有引力定律，主要是从开普勒行星运动三大定律中提炼出来。但是也无法否认那个从树上掉下来的苹果曾对牛顿产生了启发作用，至少他找到了物体的重力沉降的真正动因。再往下来对重力沉降做出重要贡献的仍然是剑桥大学的著名学者，生活在19世纪的国际流体力学大师斯托克斯，他是粘性流体力学的两位创始人之一。1822年法国学者纳维在一特殊条件下导出了粘性流体的粘性应力表达式，1845年斯托克斯 在更普遍的条件下 导出了同样的粘性应力表达式，因此得到支配粘性流体运动的微分方程，为纪念这两个创始人的伟大功绩，该方程就以这两位的姓氏命名，叫纳维-斯托克斯方程。有时简称为N-S方程。把N-S方程无量纲化以后，就可发现该方程解的性质依赖于一个无量纲数—雷诺数。它是粘性流体的非线性的流体惯性力和线性的流体粘性力的比。斯托克斯的第二个贡献就是在低雷诺数条件下，做为一级近似，他建议把N-S方程中弱的非线性流体惯性力忽略，于是方程简化为线性的二阶偏微分方程，为纪念他的第二个贡献，人们把这个方程命名为斯托克斯方程。所得的解叫斯托克斯流。在斯托克斯流中起支配作用的是流体的粘性力，所以斯托克斯流又叫粘性流。这是流体力学发展史上第一个成功的近似，叫斯托克斯 粘性流近似。斯托克斯 的第三个贡献就是他对一个孤立的刚性球在静止的无界的粘性流体中，以一定常的平移速度U向前运动做了细致研究。运动属低雷诺数性质，可以使用斯托克斯方程求解，由此而得到在四周流体中所产生的扰动流场结构，所得到的是一个很漂亮的解析解。从这个解不难求出扰动流场对这刚性球所产生的阻力。这个阻力与球的半径a成正比，与球运动速度U成正比，与流体的粘性系数m成正比，比例系数是6p，这就是著名的斯托克斯 阻力定律。有了这第三个贡献,他就很容易导出他的最后一个重大贡献。这是和本章直接有关的重力沉降问题，使刚性球的重力和阻力平衡，他就得到球的重力沉降速度，它和球的半径a 平方成正比，和球的密度与介质密度差成正比，与重力加速度g成正比，和介质粘性系数m成反比，比例系数是2/9 ，这就是著名的斯托克斯沉降公式，这个公式为两千多年前的亚里士多德翻了案。原来中世纪的伽利略的比萨斜塔实验，测量的是自由落体沉降速度，也就是说，只有在介质对落体的阻力可以忽略不计时，伽利略才可以推翻亚里士多德的结论，否则在介质阻力不可忽略条件下，亚里士多德的结论就仍然正确。落体的平衡速度就仍和落体所受的重力成正比，之所以在斯托克斯沉降公式中不是正比与球的半径a的3次方，只是a的2次方，是由于介质阻力正比于a的1次方，两者相抵使原来的a的3次方降为a的2次方。结论仍然是球越重，沉降速度越大。当然，事情不是简单地回归到两千多年前的亚里士多德的定性结论，由于斯托克斯对粘性流体力学做出的努力，现在对球的重力沉降的认识更精确更定量了。进入20世纪后，人们对他的重力沉降公式进行了各种实验检验，结果发现，无论是液态介质，还是气态介质，斯托克斯沉降公式都正确，富克斯曾说过，它是人们所知道的最精确的物理定律之一。

在斯托克斯之后，沿着孤立球的沉降问题，继续有不少人做了研究。 1911年哈达马特（ Hadamard） 把刚性球的假定放松，研究了液滴运动时所受阻力问题。此外在20世纪上半叶还有一些人研究了非球形物体运动时所受阻力，从最简单的一种椭球体看，情形就相当复杂。不仅和运动速度，还和运动方向有关。到了1967年巴切勒还从更一般的角度探讨了任意形状物体运动时所受的阻力问题。第三，斯托克斯公式是在低雷诺数条件下，完全忽略了非线性流体惯性力的影响后得到的，1910年奥森（Oseen）考虑了低雷诺数条件下，弱的非线性流体惯性力的影响，指出这是一个奇异扰动问题，并由此而得到了二级近似，更高级的近似则是在1957年分别由两组人员得到。即：卡普隆（Kaplun）和拉杰斯托姆（Lagerstrom） , 以及普劳德曼（Proudman）和皮尔森（ Pearson）。 至于在高雷诺数条件下运动物体所受介质阻力问题，则更复杂。1904年普朗托的边界层理论已指明这又是一个奇异扰动问题，在外域可忽略掉粘性力，问题转化为无粘性的理想流体运动，而在内域即在运动物体的表面有一边界层，在这层中粘性力不可忽略，而不管雷诺数是如何之大。但是如何使边界层理论应用到具体物体则遇到了很大的困难。1975年范戴克 指出问题出在外域，在完全忽略了粘性力， 当物体具有有界尺寸时，物体后面的流体会出现分离脱体现象，流场的解就不唯一。范戴克曾以园球绕流为例举出外域解至少有三种可能性，一种是连续的位势绕流，一种是球背后出现死水区的分离流，第三种是球背后出现尖顶涡尾流区。这种解的不确定性，使求解的工作无法进行下去，因此在高雷诺数条件下，严格的理论求解就只能限在不会产生分离流或尾流的半无界平板绕流问题，是令人遗憾的事。

 

 

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