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据说华罗庚曾讲过一个故事,说:有个教书先生喜欢喝酒,一天,他叫学生背圆周率,自己却提壶酒到山上庙里找老和尚喝酒去了。有个聪明的学生把圆周率编了个打油诗“山巅一寺一壶酒,尔乐苦煞吾,把酒吃;酒杀尔杀不死,乐尔乐”。其实是3.1415926535897932384626的谐音。先生一回来,学生居然背了下来,可一想,发现学生是在讽刺他。
究其“山巅一寺一壶酒”的来历,众所周之,可上溯至南北朝时的祖冲之(429—500年),当时获得的结果是圆周率在3.1415926与3.1415927之间。
那么,祖冲之是怎么算出来的呢?
《隋书·律历志》记载,祖冲之所用的方法叫“缀术”,并说祖冲之“所著之书名为《缀术》,学官莫能究其深奥”。传说唐时此书为朝庭钦定教科书,后来《缀术》失传。从而祖冲之的神奇算法成为千古之迷。
作为猜测,华先生曾说“他的算法也是极限的最好说明,他从单位圆的内接正六边形和外切正六边形出发……再作内接的和外切的正12边形、正24边形……边数愈多, 内接的和外切的正6·2n-1边形的面积就愈接近圆的面积,由此可以逐步地精确地算出圆周的长度。”内接和外切正多边形的方法是阿基米德的“穷竭法”。
但仔细一想,用“穷竭法”来算也是有问题的。要得到祖率的精度,需要算正24576边形,也就是从正六边形出发要剖分12次,即同一算法要迭代12次,在用算筹的手工年代要完成如此浩大的计算量其困难是很大的,也可能是很能难实现的。
于是,钱宝琮先生在主编《中国数学史》时猜测采用了与刘徽割圆术相仿的方法,钱先生猜测说:“祖冲之钻研了《九章算术》刘徽注之后,认为数学还应该有所发展,他写成了数十篇专题论文,附缀于刘徽注的后面,叫它‘缀述’。”
“缀”有附着之意,故华中王能超先生同意钱先生的观点,认为“缀术”实际上是《九章算术》刘徽注的“祖冲之注”。但“缀术”决不是“缀述”。
然而,“缀”又有拼合、组合之意,故“缀术”可能是刘徽割圆术的组合之术。
王先生坚信“缀术”是割圆术的组合之术,并由此发现了“缀术”是与当今外推算法相类似的一种加速算法,祖冲之肯定是用这种加速算法减少了迭代次数,解决了计算量大的困难。这种加速算法的智慧是阿基米德穷竭法所不能比的。果真如此的话,王先生就破译了缀术的千古疑案,所以林群先生讲“我认为王教授的发现是数学史上的重大事件”。
那么,该如何“组合”呢?
从圆内接正六边形做起,第一次割得正12边形,用S(12)记其面积,刘徽称其为“觚之幂”,于是得:
S(12),S(24), S(48), S(96),S(192),……
刘徽称多边形的面积为幂,而称偏差
A(n)=S(2n)-S(n)
为差幂,并给出了双侧逼近公式,即圆面积介于S(2n)与S(2n)+A(n)之间,由此给出了一个计算圆面积的近似实例:
由此得到圆周率为3.1416,将此实例写成公式就是:
圆面积≈S(2n)+c[S(2n)-S(n)]
即是现代的组合加速技术,其关键是系数c的选取。为此,刘徽在割圆术中说了一句人称“十字文”的话:“以十二觚之幂为率消息”,一千多年来让多少行家费尽思量也不解其迷。王先生从刘徽的思想方式与语言行文特征出发,认为是人们传抄之误,实应为“以十二觚之幂率为消息”,意为系数c的消息在十二觚之幂率中。十二觚之幂率为
D(12)=A(12)/A(24)=[S(24)-S(12)]/[S(48)-S(24)]=3.95
可得系数c=1/(3.95-1)=1/2.95,这是刘徽的伟大之处,也是刘徽与3.1415926失之交臂而把更精致的结果留给了200年后的老祖的原因。如果把
D(12)、D(24)、D(48)、D(96)
都算出来,就会发现它们稳定在4.0上,从而系数c=1/3。如果取c=1/3,只需算到正96边形的S(96)和正192边形的S(192),再利用加速公式就可以得到3.141592646,这时只需要迭代5次而不是12次,也不需要算到正24576边形,大概这就是老祖的绝技之迷。
公元前300年,阿基米德为得到3.14,已经割到正96边形了,如果他老先生知道如何跑得快一点就能喝到一壶酒了,没有离“山巅一寺一壶酒”的一步之遥了。
这一绝技在现代已不重要了,在大学本科的计算方法中只是很简单的外推加速技术。所以,著名的克莱因在《古今数学思想》自叙称:“为着不使资料漫无边际,我忽略了几种文化,例如中国的文化,因为他们的工作对于数学思想的主流没有重大的影响。”
如果再问一个问题:老刘和老祖在那个时代是怎么想到加速与c=1/3的?
一个比较靠得住的猜想是,他们是从数字的分析中直觉地感悟到的,在逻辑上不是从分析逻辑上得到的,而是从直觉逻辑上得到的。有人把这类直觉、感悟叫做智慧。擅长数学主流分析逻辑的西方数学家伊恩·斯图尔特说:“数学的全部力量就在于直觉和严格性巧妙地结合在一起。受控制的精神和富有灵感的逻辑正是数学的魅力所在,也是数学教育者努力的方向。”他更是一语道破了数学的真谛:“直觉是真正的数学家赖以生存的东西”。
无独有偶,迪瓦多内也说:“这些富有创造性的科学家与众不同的地方,在于他们对研究的对象有一个活生生的构想和深刻的了解,这些构想和了解结合起来,就是所谓‘直觉’”。
也许对数学主流思想产生重大影响的恰好是人类的直觉思维,这才是今天人们仍然尊敬刘徽与祖冲之的原因。
如何让数学家经常带点直觉的灵感呢,德国数学家维尔斯特拉斯说:“不带点诗人味的数学家,绝不是一个完美的数学家。”
所以,一个完美而又简单的修练方法就是到学人亭来。
2004年,获王能超先生慧赠《千古绝技“割圆术”——刘徽的大智慧》,谨以此文答谢。
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GMT+8, 2024-4-27 22:15
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