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数学帮助人们思考问题

已有 3389 次阅读 2016-3-15 04:13 |系统分类:科研笔记| 数学、玻尔兹曼方程

前文说民科也能批评现代科学,有调侃的意味。要想真正懂一些近代现代科学,你还是要多懂一些数学,特别是一些有警示意义的数学。下面写的东西对学过微积分的人应该有启发作用。


首先,看一个式子:

$\lim\limits_{x\to 0,y\to 0} \frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}=?$

这里面包含相互竞争的极限过程,如果y趋于零快,它是1,如果x趋于零快,它是-1.如有意地改变x和y的趋于零的方式,它可以是你要的从负无穷到正无穷的任何一个结果。在数学分析中,为了避免如此产生不合理的数学结果,做了如下规定:对于一个合法的数学极限而言,其包含的变量不论以何种方式趋于它们的自身极限,它的数值结果必须是唯一定义的。因为极限过程是高等数学中最重要的基本过程,所以这个规定的意义是显然的。遗憾的是,这类数学并不人们所熟悉(如果有数学家有意收集一下,并附上学生易犯、历史上学者犯过错误作为例子,可能构成一个很好的工作)。


有些物理学家可能会说,这是书呆子们的游戏,我们通过物理现实直接掌握数学概念,不会犯这种低级的错误。这种想法帮助了许多人取得快速成功,也造成了许多不应有的错误。外国有一句俗语(类似的中国俗语好像没有),大意是说:如果存在一个人们可能犯的错误,那它就是人们必然要犯的一个错误。


现在回到我的前面的一些博文,我对统计物理里用的一些基本方法提出了质疑。有读者会说,“我的统计物理只有入门水平,不能为你做裁判。”以下我再给你一个例子,如果以前给的例子使你将信将疑,懂了这个例子,你快要可以当裁判了。


按照标准理论,处理粒子碰撞的一个基本做法是,研究一个空间微小体积元 $\Delta ^3x$ 内发生的碰撞,调查这些碰撞在 $\Delta t$ 时间内制造出多少个能进入速度微小体积元 $\Delta ^3 v$ 的粒子。可以用图形表示如下:  

这样,分布函数随时间的变化就是

$\frac{\delta f}{\delta t} = \lim \frac{\Delta N}{\Delta t \Delta^3x \Delta^3 v }$

你不必是这个问题的专家,也不必对碰撞做仔细的研究,也可以指出这个式子问题所在:如果 $\Delta t$ 趋于零快,这个式子确实有预想的意义。但是如果 $\Delta^3 x$ 趋于零快,所有产生的粒子在 $\Delta t$ 结束之前,都会因自身的速度跑到 $\Delta^3 x$ 的外边(除去极少部分最后时间段产生的粒子),这个的式子就变成了难以捉摸的东西。(玻尔兹曼方程的困难与未处理好这种极限有关。)


许多熟悉微积分的朋友会问,那你说如何处理这样的碰撞,难道不用微积分?我的原则是参照实际测量的过程,有些变量取为有限值,不参与极限过程,另一些变量允许有极限过程。


不过,中国人民、世界人民还没有接受我的看法。



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